(UFMG-2003) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:
  • 40 \% dos entrevistados leem o jornal A;
  • 55% dos entrevistados leem o jornal B;
  • 35 \% dos entrevistados leem o jornal C;
  • 12 \% dos entrevistados leem os jornais A e B;
  • 15% dos entrevistados leem os jornais A e C;
  • 19 \% dos entrevistados leem os jornais B e C;
  • 7% dos entrevistados leem os três jornais;
  • 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais.
Considerando-se estes dados, é CORRETO afirmar que o número total de entrevistados foi:
a) 1200
b) 1250
c) 1350
d) \mathbf{1 4 0 0}
e) 1500

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (estou só listando o que foi dado e o que se pede):
  • 40\% dos entrevistados leem o jornal A.
  • 55\% dos entrevistados leem o jornal B.
  • 35\% dos entrevistados leem o jornal C.
  • 12\% leem os jornais A e B.
  • 15\% leem os jornais A e C.
  • 19\% leem os jornais B e C.
  • 7\% leem os três jornais A, B e C.
  • 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais.
O que se pede: determinar o número total de entrevistados (escolher a alternativa correta entre as dadas).

Passo 2

Vou introduzir uma notação simples para trabalhar com porcentagens e conjuntos:
Seja N o número total de entrevistados. Denotando por A, B e C os conjuntos de entrevistados que leem os jornais respectivos, então a porcentagem dada para um conjunto corresponde a \dfrac{\#(\text{conjunto})}{N}\times 100\%. Por exemplo, 40\% para A significa que \#A = 0,40\,N. Aqui uso a vírgula como separador decimal ( 0,40 é 40\%).

Passo 3

Vamos usar uma fórmula básica e muito útil para três conjuntos: a fórmula da união por inclusão-exclusão. Ela diz, em termos de porcentagem (ou fração da população), que
P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).
Explicando em palavras: somo as porcentagens individuais, subtraio as interseções pares (porque foram contadas duas vezes), e adiciono a interseção tripla (porque foi subtraída três vezes e precisa ser restituída uma vez).

Passo 4

Agora aplico a fórmula com os números dados (tudo em porcentagem):
P(A\cup B\cup C)=40\%+55\%+35\%-12\%-15\%-19\%+7\%.
Faço as somas e subtrações passo a passo:
40\%+55\%+35\%=130\% ,
12\%+15\%+19\%=46\% ,
130\%-46\%+7\%=84\%+7\%=91\%.
Logo 91\% dos entrevistados leem pelo menos um dos jornais (ou seja, pertencem a A\cup B\cup C).

Passo 5

Se 91\% leem pelo menos um jornal, a porcentagem que não lê nenhum é
100\%-91\%=9\%.
Pelo enunciado, o número absoluto de pessoas que não lêem nenhum é 135. Isso significa que 9\% de N é 135. Em equação:
0,09\,N = 135.
(Aqui transformei 9\% em 0,09 para trabalhar com a equação numérica.)

Passo 6

Agora resolvo a equação para N:
N=\dfrac{135}{0,09}.
Faço a conta: dividir por 0,09 é o mesmo que multiplicar por \dfrac{100}{9}, então
N=135\cdot \dfrac{100}{9}=15\cdot 100=1500.
Portanto o total de entrevistados foi 1500.

Resposta

e) 1500

Exercícios relacionados