(UFMG-2003) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:
-
dos entrevistados leem o jornal A;
- 55% dos entrevistados leem o jornal B;
-
dos entrevistados leem o jornal
;
-
dos entrevistados leem os jornais
e
;
- 15% dos entrevistados leem os jornais A e C;
-
dos entrevistados leem os jornais B e C;
- 7% dos entrevistados leem os três jornais;
- 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais.
Considerando-se estes dados, é CORRETO afirmar que o número total de entrevistados foi:
a) 1200
b) 1250
c) 1350
d)
e) 1500
a) 1200
b) 1250
c) 1350
d)
e) 1500
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (estou só listando o que foi dado e o que se pede):
-
dos entrevistados leem o jornal . -
dos entrevistados leem o jornal . -
dos entrevistados leem o jornal . -
leem os jornais e . -
leem os jornais e . -
leem os jornais e . -
leem os três jornais , e . -
pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais.
O que se pede: determinar o número total de entrevistados (escolher a alternativa correta entre as dadas).
Passo 2
Vou introduzir uma notação simples para trabalhar com porcentagens e conjuntos:
Seja o número total de entrevistados. Denotando por
,
e
os conjuntos de entrevistados que leem os jornais respectivos, então a porcentagem dada para um conjunto corresponde a
. Por exemplo,
para
significa que
. Aqui uso a vírgula como separador decimal (
é
).
Seja
Passo 3
Vamos usar uma fórmula básica e muito útil para três conjuntos: a fórmula da união por inclusão-exclusão. Ela diz, em termos de porcentagem (ou fração da população), que
Explicando em palavras: somo as porcentagens individuais, subtraio as interseções pares (porque foram contadas duas vezes), e adiciono a interseção tripla (porque foi subtraída três vezes e precisa ser restituída uma vez).
Passo 4
Agora aplico a fórmula com os números dados (tudo em porcentagem):
Faço as somas e subtrações passo a passo:
Logo
dos entrevistados leem pelo menos um dos jornais (ou seja, pertencem a
).
Passo 5
Se
leem pelo menos um jornal, a porcentagem que não lê nenhum é
Pelo enunciado, o número absoluto de pessoas que não lêem nenhum é
. Isso significa que
de
é
. Em equação:
(Aqui transformei
em
para trabalhar com a equação numérica.)
Passo 6
Agora resolvo a equação para
:
Faço a conta: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, então
Portanto o total de entrevistados foi
.
Resposta
e)