Determine se T é uma transformação linear.
T: M_{n n} \rightharrow M_{n n}definida por T(A)=A B, onde Bé uma matizn \times n fixa

Passo 1

O enunciado pede: determinar se T é uma transformação linear. Foi dado:
  • O espaço de partida e chegada é M_{n n}, ou seja, o conjunto de todas as matrizes n\times n.
  • A transformação T está definida por T(A)=A B, onde B é uma matriz fixa n\times n.
    Pergunta clara: a aplicação T\colon M_{n n}\to M_{n n} dada por T(A)=AB satisfaz as propriedades de linearidade?

Passo 2

Lembrando o que é preciso para provar linearidade: uma aplicação linear T entre espaços vetoriais deve satisfazer duas propriedades para todos A,C\in M_{n n} e todo escalar \alpha:
\text{(i) } T(A+C)=T(A)+T\text{(C)},\qquad \text{(ii) } T(\alpha A)=\alpha T(A).
Vou verificar essas duas propriedades para T(A)=AB. Antes, verifico que AB realmente pertence a M_{n n}: o produto de duas matrizes n\times n é outra matriz n\times n, logo a imagem está no espaço correto.

Passo 3

Explico a propriedade distributiva que vou usar: para matrizes compatíveis, (A+C)B = AB + CB. Isso é um fato básico da multiplicação de matrizes (distributividade à esquerda). Vou mostrar por entradas para não deixar dúvida.

Passo 4

Prova da distributividade por entradas (detalhada): seja D=(A+C)B. O elemento (i,j)-ésimo de D é
D_{ij}=\sum_{k=1}^{n}(A+C)_{ik}\,B_{kj}.
Como (A+C)_{ik}=A_{ik}+C_{ik}, temos
D_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\bigl(A_{ik}+C_{ik}\bigr)B_{kj} =\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}+\sum_{k=1}^{n}C_{ik}B_{kj}.
Mas \sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}=(AB)_{ij} e \sum_{k=1}^{n}C_{ik}B_{kj}=(CB)_{ij}. Então D_{ij}=(AB)_{ij}+(CB)_{ij} para todo i,j. Portanto (A+C)B=AB+CB.

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior, verificamos a primeira propriedade de linearidade:
T(A+C)=(A+C)B=AB+CB=T(A)+T\text{(C)}.
Então T é aditiva.

Passo 6

Agora verifico a homogeneidade (fator escalar): tomo um escalar \alpha. Quero mostrar T(\alpha A)=\alpha T(A). Começo escrevendo a entrada (i,j)-ésima de (\alpha A)B:
\bigl((\alpha A)B\bigr)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}(\alpha A)_{ik}\,B_{kj}.
Como (\alpha A)_{ik}=\alpha A_{ik}, segue
\bigl((\alpha A)B\bigr)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\alpha A_{ik}B_{kj} =\alpha\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}=\alpha(AB)_{ij}.
Isso vale para todo i,j, portanto (\alpha A)B=\alpha(AB).

Passo 7

Com isso concluímos a segunda propriedade:
T(\alpha A)=(\alpha A)B=\alpha(AB)=\alpha T(A).
Logo T é homogênea em escalares.

Passo 8

Tendo verificado tanto a aditividade quanto a homogeneidade para todos A,C\in M_{n n} e todo escalar \alpha, concluímos que T é linear. Observação rápida e motivadora: multiplicar à direita por uma matriz fixa é sempre uma transformação linear; multiplicar à esquerda por uma matriz fixa também é linear — são exemplos simples e úteis que aparecem muito em álgebra linear.

Resposta

Sim. T é linear.

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