Determine se
é uma transformação linear.
definida por
, onde
é uma matizn
fixa
definida por
Passo 1
O enunciado pede: determinar se
é uma transformação linear. Foi dado:
- O espaço de partida e chegada é
, ou seja, o conjunto de todas as matrizes . - A transformação
está definida por , onde é uma matriz fixa .
Pergunta clara: a aplicaçãodada por satisfaz as propriedades de linearidade?
Passo 2
Lembrando o que é preciso para provar linearidade: uma aplicação linear
entre espaços vetoriais deve satisfazer duas propriedades para todos
e todo escalar
:
Vou verificar essas duas propriedades para
. Antes, verifico que
realmente pertence a
: o produto de duas matrizes
é outra matriz
, logo a imagem está no espaço correto.
Passo 3
Explico a propriedade distributiva que vou usar: para matrizes compatíveis,
. Isso é um fato básico da multiplicação de matrizes (distributividade à esquerda). Vou mostrar por entradas para não deixar dúvida.
Passo 4
Prova da distributividade por entradas (detalhada): seja
. O elemento
-ésimo de
é
Como
, temos
Mas
e
. Então
para todo
. Portanto
.
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior, verificamos a primeira propriedade de linearidade:
Então
é aditiva.
Passo 6
Agora verifico a homogeneidade (fator escalar): tomo um escalar
. Quero mostrar
. Começo escrevendo a entrada
-ésima de
:
Como
, segue
Isso vale para todo
, portanto
.
Passo 7
Com isso concluímos a segunda propriedade:
Logo
é homogênea em escalares.
Passo 8
Tendo verificado tanto a aditividade quanto a homogeneidade para todos
e todo escalar
, concluímos que
é linear. Observação rápida e motivadora: multiplicar à direita por uma matriz fixa é sempre uma transformação linear; multiplicar à esquerda por uma matriz fixa também é linear — são exemplos simples e úteis que aparecem muito em álgebra linear.
Resposta
Sim.
é linear.