Determine a transformação linear T_{i} nos seguintes casos :
T_{4}: R^{3} \rightarrow R^{3},\left[T_{4}\right]_{\beta_{4}}^{a_{4}}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \alpha_{4}=\alpha_{1}, \beta_{4}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear
T_{4}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
cuja matriz de transformação em relação às bases \beta_{4} do domínio e \alpha_{4} do contradomínio é a matriz identidade
\bigl[T_{4}\bigr]_{\beta_{4}}^{\alpha_{4}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
com \beta_{4}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} (base canônica) e \alpha_{4}=\alpha_{1} (também canônica). Vamos usar o fato de que, em base canônica, a matriz- aplicação treina como envia vetores canônicos.

Passo 2

Em base canônica, os vetores de base do domínio são
e_{1}=(1,0,0),\quad e_{2}=(0,1,0),\quad e_{3}=(0,0,1).
Como \bigl[T_{4}\bigr]_{\beta_{4}}^{\alpha_{4}} é a identidade, temos
T_{4}(e_{1})=e_{1},\quad T_{4}(e_{2})=e_{2},\quad T_{4}(e_{3})=e_{3}.

Passo 3

Qualquer vetor v\in\mathbb{R}^{3} escreve-se como combinação linear
v = x\,e_{1}+y\,e_{2}+z\,e_{3} = (x,y,z).
Pela linearidade de T_{4} e pelos resultados do passo anterior,
T_{4}(v) = T_{4}(x\,e_{1}+y\,e_{2}+z\,e_{3}) = x\,T_{4}(e_{1}) + y\,T_{4}(e_{2}) + z\,T_{4}(e_{3}) = x\,e_{1} + y\,e_{2} + z\,e_{3}.

Resposta

T_{4}(x,y,z) = (x,y,z).

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