Determine a transformação linear T_{i} nos seguintes casos :
T_{1}: R^{3} \rightarrow R^{2},\left[T_{1}\right]_{\beta_{1}}^{\alpha_{1}}=\binom{100}{-201}, sendo \alpha_{1}=\{(1,1,0)(0,0,1),(1,2,3)\} e \beta_{1}=\{(2,1)(-1,1)\}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T_{1}: \mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{2} cuja matriz em relação às bases
\alpha_{1}=\{v_{1}=(1,1,0),\,v_{2}=(0,0,1),\,v_{3}=(1,2,3)\} do domínio e
\beta_{1}=\{w_{1}=(2,1),\,w_{2}=(-1,1)\} do contradomínio é
[T_{1}]_{\beta_{1}}^{\alpha_{1}} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Queremos achar a fórmula de T_{1} no sistema de coordenadas canônico de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}. Para isso usamos a troca de base
[T_{1}]_{\text{can}} \;=\; P_{\beta_{1}}\,[T_{1}]_{\beta_{1}}^{\alpha_{1}}\;P_{\alpha_{1}}^{-1},
onde P_{\alpha_{1}} tem colunas v_{1},v_{2},v_{3} e P_{\beta_{1}} tem colunas w_{1},w_{2}.

Passo 2

Montamos as matrizes de passagem:
P_{\alpha_{1}} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \qquad P_{\beta_{1}} =\begin{pmatrix} 2 & -1\\[6pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos P_{\alpha_{1}}^{-1}. Um jeito direto é usar a adjunta dividida pelo determinante. O resultado é
P_{\alpha_{1}}^{-1} =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora efetuamos a multiplicação
[T_{1}]_{\text{can}} = P_{\beta_{1}}\;\begin{pmatrix}1&0&0\\\ -2&0&1\end{pmatrix}\;P_{\alpha_{1}}^{-1}.
Primeiro \begin{pmatrix}1&0&0\\\ -2&0&1\end{pmatrix}P_{\alpha_{1}}^{-1} =\begin{pmatrix}2&-1&0\\\ -5&3&0\end{pmatrix}.
Em seguida
\begin{pmatrix}2&-1\\\ 1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&-1&0\\\ -5&3&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -5 & 0\\\\ -3 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Logo, no sistema canônico,
[T_{1}]_{\text{can}} =\begin{pmatrix} 9 & -5 & 0\\\\ -3 & 2 & 0 \end{pmatrix},
e portanto, para \,(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3},
T_{1}(x,y,z) =\bigl(9x-5y,\,-3x+2y\bigr).

Resposta

T_{1}(x,y,z)=(9x-5y,\,-3x+2y).

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