Determine a matriz associada a transformação T_{i} com relação as bases \alpha_{i} e \beta_{i}.
T_{5}: R^{3} \rightarrow R^{3}, T_{5}(v)=v, \alpha_{5}=\{(1,2,0),(2,1,0),(0,0,1)\} e \beta_{5} é a base canônica de R^{3}.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T_5\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T_5(v)=v,
ou seja, é a transformação identidade. A base do domínio é
\alpha_5=\{\,v_1=(1,2,0),\;v_2=(2,1,0),\;v_3=(0,0,1)\},
e a base do contradomínio é a base canônica
\beta_5=\{e_1,e_2,e_3\}. Vamos achar a matriz de T_5 relativa a \alpha_5 na coluna e \beta_5 na linha.

Passo 2

Para qualquer transformação linear T, a matriz [T]_{\beta,\alpha} tem como i-ésima coluna as coordenadas de T(v_i) em relação à base \beta, onde v_i é o i-ésimo vetor de \alpha.

Passo 3

Como T_5 é a identidade, temos
T_5(v_i)=v_i
para i=1,2,3. Portanto as colunas da matriz serão exatamente as coordenadas canônicas de v_1,v_2,v_3.

Passo 4

Escrevendo cada v_i na base canônica:
v_1=(1,2,0),\quad v_2=(2,1,0),\quad v_3=(0,0,1).

Passo 5

Montando a matriz cujas colunas são essas coordenadas, obtemos
[T_5]_{\beta_5,\alpha_5} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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