O enunciado fornece a matriz canônica da transformação linear \mathrm{T} (relativa à base canônica) e pede para determinar a(s) transformação(ões) linear(es). Dados fornecidos:
Escrever a transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 correspondente a essa matriz, isto é, dar a fórmula de \mathrm{T}(x,y,z) para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.]
Passo 2
Conceito básico e como proceder (passo a passo didático):
Uma matriz 3\times3A dada na base canônica representa a transformação linear \mathrm{T} que age por multiplicação matricial: para todo vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix} temos \mathrm{T}\!\left(\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}.
Em particular, as coordenadas da imagem são obtidas multiplicando cada linha da matriz pelo vetor coluna. Vou mostrar isso explicitamente para a matriz dada.]
Passo 3
Aplicando a multiplicação matriz-vetor para obter a fórmula da transformação. Seja um vetor qualquer \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}. Então
Para aplicar \mathrm{T} a qualquer vetor, basta substituir x,y,z na fórmula acima e calcular as três somas lineares. Isso vem diretamente da definição de multiplicação de matriz por vetor.
Outra forma útil: conhecer as imagens dos vetores da base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Elas são as colunas da matriz: