Determine as transformações lineares cujas matrizes canônicas são:
[\mathrm{T}]=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\\\ 2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz canônica da transformação linear \mathrm{T} (relativa à base canônica) e pede para determinar a(s) transformação(ões) linear(es). Dados fornecidos:
[\mathrm{T}] = \begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\[4pt] 2 & 3 & 2 \\[4pt] 1 & 2 & 1\end{pmatrix}.
O que o enunciado pede explicitamente:
  • Escrever a transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 correspondente a essa matriz, isto é, dar a fórmula de \mathrm{T}(x,y,z) para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.]

Passo 2

Conceito básico e como proceder (passo a passo didático):
  • Uma matriz 3\times3 A dada na base canônica representa a transformação linear \mathrm{T} que age por multiplicação matricial: para todo vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix} temos \mathrm{T}\!\left(\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}.
  • Em particular, as coordenadas da imagem são obtidas multiplicando cada linha da matriz pelo vetor coluna. Vou mostrar isso explicitamente para a matriz dada.]

Passo 3

Aplicando a multiplicação matriz-vetor para obter a fórmula da transformação. Seja um vetor qualquer \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}. Então
\mathrm{T}\!\left(\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\[4pt] 2 & 3 & 2 \\[4pt] 1 & 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}.
Agora calculamos componente a componente, multiplicando cada linha pelo vetor coluna:
  • Primeira componente: \;1\cdot x + (-1)\cdot y + 0\cdot z = x - y.
  • Segunda componente: \;2\cdot x + 3\cdot y + 2\cdot z = 2x + 3y + 2z.
  • Terceira componente: \;1\cdot x + 2\cdot y + 1\cdot z = x + 2y + z.
Portanto, em notação de vetores:
\mathrm{T}(x,y,z) = \bigl(x - y,\; 2x + 3y + 2z,\; x + 2y + z\bigr).]

Passo 4

Interpretação prática (como usar isso na prova):
  • Para aplicar \mathrm{T} a qualquer vetor, basta substituir x,y,z na fórmula acima e calcular as três somas lineares. Isso vem diretamente da definição de multiplicação de matriz por vetor.
  • Outra forma útil: conhecer as imagens dos vetores da base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Elas são as colunas da matriz:
\mathrm{T}(e_1)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathrm{T}(e_2)=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]3\\[2pt]2\end{pmatrix},\qquad \mathrm{T}(e_3)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Saber isso ajuda a montar respostas rápidas na prova (por exemplo, para imagens de vetores cujas coordenadas sejam combinações dos e_i).]

Passo 5

Verificação de propriedades importantes (útil na prova): determinante e invertibilidade.
  • O determinante da matriz A=[\mathrm{T}] indica se \mathrm{T} é invertível (se \det(A)\neq0, \mathrm{T} é bijetora).
  • Calculo do determinante passo a passo (expansão pela primeira linha):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora os menores:
\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1-2\cdot2=3-4=-1, \qquad \det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-2\cdot1=0.
Logo
\det(A)=1\cdot(-1)-(-1)\cdot 0 = -1.
Como \det(A)=-1\neq0, a transformação \mathrm{T} é invertível (bijetora).]

Passo 6

Encontrar a transformação inversa \mathrm{T}^{-1} (opcional, mas muito útil em problemas da prova).
  • Como \mathrm{T} é invertível, existe A^{-1} e \mathrm{T}^{-1}(u)=A^{-1}u.
  • Método: calcular A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A). Já que \det(A)=-1, tem-se A^{-1}=-\operatorname{adj}(A).
  • Calculo dos cofatores (detalhado): os cofatores (matriz de cofatores) são
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -3\\[4pt] -2 & -2 & 5 \end{pmatrix}.
A adjunta (adjugate) é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -2\\[4pt] 1 & -3 & 5\end{pmatrix}.
Multiplicando por 1/\det(A) = -1 obtemos
A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 3 & -5\end{pmatrix}.]

Passo 7

Fórmula explícita para \mathrm{T}^{-1}:
  • Se \mathrm{T}(x,y,z)=(u,v,w), então
\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix}u\\[2pt] v\\[2pt] w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 3 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\[2pt] v\\[2pt] w\end{pmatrix}.
Ou seja,
\mathrm{T}^{-1}(u,v,w)=\bigl(u - v + 2w,\; -v + 2w,\; -u + 3v - 5w\bigr).]

Resposta

\mathrm{T}(x,y,z)=\bigl(x-y,\;2x+3y+2z,\;x+2y+z\bigr)

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