Determine as transformações lineares cujas matrizes canônicas são:
[\mathrm{T}]=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz canônica
[\mathrm{T}]=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}
e pede: determinar a(s) transformação(ões) lineares cuja matriz canônica é essa. Informações relevantes que recebemos:
  • A matriz está escrita na base canônica de \mathbb{R}^2 (ou seja, presumimos domínio e contradomínio iguais a \mathbb{R}^2 com a base \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}).
  • Uma matriz 2\times2 determina uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por multiplicação matricial.
  • O que nos pedem é encontrar a fórmula de T aplicando essa matriz a vetores genéricos (ou, equivalentemente, dizer a imagem dos vetores da base canônica).]

Passo 2

Lembrete rápido (fórmula e ideia que vamos usar).
  • Se A=[T] é a matriz de T na base canônica e \mathbf{v}\in\mathbb{R}^2 é um vetor com coordenadas \mathbf{v}=(x,y) na base canônica, então a imagem é dada por multiplicação matricial:
T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}.
  • As colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica:
A = \begin{pmatrix}\,| & | \\[2pt] T(\mathbf{e}_1) & T(\mathbf{e}_2) \\[2pt] | & | \,\end{pmatrix}.
Vou usar essas duas ideias: (1) ler as colunas para obter T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2); (2) multiplicar A por um vetor genérico (x,y) para obter a fórmula geral.]

Passo 3

Calcular as imagens dos vetores da base canônica (pegando diretamente as colunas da matriz dada).
  • A primeira coluna é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}, logo
T(\mathbf{e}_1)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • A segunda coluna é \begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix}, logo
T(\mathbf{e}_2)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Obter a fórmula da transformação para um vetor genérico (x,y).
  • Multiplicando a matriz pela coordenada \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}:
T\!\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+2y\\[4pt] x+3y\end{pmatrix}.
  • Em forma de função: para (x,y)\in\mathbb{R}^2,
T(x,y)=(\,2x+2y,\; x+3y\,).]

Passo 5

Verificar se T é invertível (dica útil para a prova) e interpretar o determinante.
  • Determinante da matriz
\det(A)=2\cdot3-2\cdot1=6-2=4.
  • Como \det(A)=4\neq 0, T é bijetora (invertível) e preserva orientação; geometricamente ela escala áreas por um fator \det(A)=4.

Passo 6

Calcular a transformação inversa T^{-1} (útil para entender completamente T).
  • Fórmula inversa para matriz 2\times2: se A=\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix} e \det A\neq0, então
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d & -b \\[2pt]-c & a\end{pmatrix}.
  • Aplicando com a=2,b=2,c=1,d=3 e \det A=4:
A^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}3 & -2 \\[2pt]-1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{2} \\[4pt]-\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Assim, para (u,v)\in\mathbb{R}^2,
T^{-1}(u,v)=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4}u-\tfrac{1}{2}v\\[4pt]-\tfrac{1}{4}u+\tfrac{1}{2}v\end{pmatrix}.]

Passo 7

Analisar autovalores e autovetores (mais intuição geométrica e prática de prova).
  • Polinômio característico:
\chi(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\begin{vmatrix}2-\lambda & 2\\[2pt]1 & 3-\lambda\end{vmatrix} =(2-\lambda)(3-\lambda)-2\cdot1 =\lambda^2-5\lambda+4-2 =\lambda^2-5\lambda+2.
  • Resolvendo \lambda^2-5\lambda+2=0:
\lambda=\frac{5\pm\sqrt{25-8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}.
  • Autovetores: para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
    Da primeira linha (2-\lambda)x+2y=0 obtemos
y=\frac{\lambda-2}{2}\,x.
Tomando x=2 para evitar frações, um autovetor associado a \lambda é
v(\lambda)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]\lambda-2\end{pmatrix}.
  • Conclusão: há dois autovalores reais distintos, portanto A é diagonalizável sobre \mathbb{R} e possui duas direções próprias reais nas quais a transformação apenas escala por \lambda_1 e \lambda_2.]

Passo 8

Dicas e resumo prático (como fazer rápido na prova).
  • Para dar a transformação linear a partir da matriz: leia as colunas para obter T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2), ou multiplique a matriz por (x,y) para obter a fórmula geral.
  • Se pedirem invertibilidade, calcule \det rapidamente (para 2\times2 é ad-bc).
  • Se pedirem comportamento geométrico, calcule \det (escala de áreas) e autovalores/autovetores (direções invariantes).

Resposta

T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(2x+2y,\;x+3y)

Exercícios relacionados