e pede: determinar a(s) transformação(ões) lineares cuja matriz canônica é essa. Informações relevantes que recebemos:
A matriz está escrita na base canônica de \mathbb{R}^2 (ou seja, presumimos domínio e contradomínio iguais a \mathbb{R}^2 com a base \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}).
Uma matriz 2\times2 determina uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por multiplicação matricial.
O que nos pedem é encontrar a fórmula de T aplicando essa matriz a vetores genéricos (ou, equivalentemente, dizer a imagem dos vetores da base canônica).]
Passo 2
Lembrete rápido (fórmula e ideia que vamos usar).
Se A=[T] é a matriz de T na base canônica e \mathbf{v}\in\mathbb{R}^2 é um vetor com coordenadas \mathbf{v}=(x,y) na base canônica, então a imagem é dada por multiplicação matricial:
T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}.
As colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica:
Vou usar essas duas ideias: (1) ler as colunas para obter T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2); (2) multiplicar A por um vetor genérico (x,y) para obter a fórmula geral.]
Passo 3
Calcular as imagens dos vetores da base canônica (pegando diretamente as colunas da matriz dada).
A primeira coluna é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}, logo
Autovetores: para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha (2-\lambda)x+2y=0 obtemos
y=\frac{\lambda-2}{2}\,x.
Tomando x=2 para evitar frações, um autovetor associado a \lambda é
Conclusão: há dois autovalores reais distintos, portanto A é diagonalizável sobre \mathbb{R} e possui duas direções próprias reais nas quais a transformação apenas escala por \lambda_1 e \lambda_2.]
Passo 8
Dicas e resumo prático (como fazer rápido na prova).
Para dar a transformação linear a partir da matriz: leia as colunas para obter T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2), ou multiplique a matriz por (x,y) para obter a fórmula geral.
Se pedirem invertibilidade, calcule \det rapidamente (para 2\times2 é ad-bc).
Se pedirem comportamento geométrico, calcule \det (escala de áreas) e autovalores/autovetores (direções invariantes).