Para a transformação T: R^{3} \rightarrow R^{3}, T(x, y, z)=(x+1,2 y, 3 z), determine \mathrm{T}(\mathrm{u}+\mathrm{v}), \mathrm{T}(\mathrm{u})+\mathrm{T}(\mathrm{v}), sendo
a) u=(3,-2,4) e v=(0,-5,7)
b) u=(-5,4,2) e v=(3,-7,0)
T é uma Transformação Linear?

Passo 1

O enunciado dá a transformação \,T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}\, definida por
T(x,y,z)=(x+1,\,2y,\,3z),
e pede para cada par de vetores dados: calcular \,T(u+v)\, e \,T(u)+T(v)\,. Os pares são:
  • (a) u=(3,-2,4) e v=(0,-5,7).
  • (b) u=(-5,4,2) e v=(3,-7,0).
Além disso, o enunciado pergunta se T é uma transformação linear (responder sim ou não e justificar).

Passo 2

Explicação didática do que significa aplicar T a um vetor e como calcular T(u+v) e T(u)+T(v).
  • Para qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, a regra é: somar 1 à primeira coordenada, multiplicar a segunda coordenada por 2 e multiplicar a terceira por 3. Ou seja, para (x,y,z) tem-se
T(x,y,z)=(x+1,\,2y,\,3z).
  • Para calcular \,T(u+v)\, primeiro soma-se os vetores u e v componente a componente e depois aplica-se T ao resultado.
  • Para calcular \,T(u)+T(v)\, aplica-se T a cada vetor separadamente e depois soma-se os resultados componente a componente.
  • Se T fosse linear, valeria sempre T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=c\,T(u) para todo escalar c. Uma forma rápida de testar linearidade é checar se T(\mathbf{0})=\mathbf{0}; se não for, T não é linear.

Passo 3

Cálculos para o item (a).
  1. Soma dos vetores:
u+v=(3+0,\,-2+(-5),\,4+7)=(3,\,-7,\,11).
  1. Aplicar T a u+v:
T(u+v)=(3+1,\,2\cdot(-7),\,3\cdot11)=(4,\,-14,\,33).
  1. Aplicar T a u e a v separadamente:
T(u)=(3+1,\,2\cdot(-2),\,3\cdot4)=(4,\,-4,\,12),
T(v)=(0+1,\,2\cdot(-5),\,3\cdot7)=(1,\,-10,\,21).
  1. Somar T(u) e T(v):
T(u)+T(v)=(4+1,\,-4+(-10),\,12+21)=(5,\,-14,\,33).
  1. Comparação: \,T(u+v)=(4,-14,33)\, e \,T(u)+T(v)=(5,-14,33)\,. Elas diferem na primeira componente, logo para (a) temos desigualdade entre as duas quantidades.

Passo 4

Cálculos para o item (b).
  1. Soma dos vetores:
u+v=(-5+3,\,4+(-7),\,2+0)=(-2,\,-3,\,2).
  1. Aplicar T a u+v:
T(u+v)=(-2+1,\,2\cdot(-3),\,3\cdot2)=(-1,\,-6,\,6).
  1. Aplicar T a u e a v separadamente:
T(u)=(-5+1,\,2\cdot4,\,3\cdot2)=(-4,\,8,\,6),
T(v)=(3+1,\,2\cdot(-7),\,3\cdot0)=(4,\,-14,\,0).
  1. Somar T(u) e T(v):
T(u)+T(v)=(-4+4,\,8+(-14),\,6+0)=(0,\,-6,\,6).
  1. Comparação: \,T(u+v)=(-1,-6,6)\, e \,T(u)+T(v)=(0,-6,6)\,. Elas diferem na primeira componente, logo para (b) também há desigualdade.

Passo 5

Teste e explicação sobre linearidade (didático).
  • Lembrete da propriedade necessária: se T é linear então T(\mathbf{0})=\mathbf{0}, onde \mathbf{0}=(0,0,0).
  • Calcular T(\mathbf{0}):
T(0,0,0)=(0+1,\,2\cdot0,\,3\cdot0)=(1,0,0).
  • Como T(0,0,0)=(1,0,0)\neq(0,0,0), a condição necessária para linearidade falha. Portanto T não é linear.
  • Intuição: o termo constante +1 na primeira coordenada cria um deslocamento (translação) — transformações que adicionam uma constante não respeitam a propriedade de homogeneidade T(cu)=cT(u) nem a aditividade para todos os vetores, por isso T é uma transformação afim, não linear.

Resposta

a) T(u+v)=(4,-14,33),\quad T(u)+T(v)=(5,-14,33)
b) T(u+v)=(-1,-6,6),\quad T(u)+T(v)=(0,-6,6)
T não é uma transformação linear.

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