Para a transformação
, determine
, sendo
a)
e
b)
e
T é uma Transformação Linear?
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
e pede para cada par de vetores dados: calcular
e
. Os pares são:
- (a)
e . - (b)
e .
Além disso, o enunciado pergunta se
é uma transformação linear (responder sim ou não e justificar).
Passo 2
Explicação didática do que significa aplicar
a um vetor e como calcular
e
.
- Para qualquer vetor
, a regra é: somar à primeira coordenada, multiplicar a segunda coordenada por e multiplicar a terceira por . Ou seja, para tem-se
- Para calcular
primeiro soma-se os vetores e componente a componente e depois aplica-se ao resultado. - Para calcular
aplica-se a cada vetor separadamente e depois soma-se os resultados componente a componente. - Se
fosse linear, valeria sempre e para todo escalar . Uma forma rápida de testar linearidade é checar se ; se não for, não é linear.
Passo 3
Cálculos para o item (a).
- Soma dos vetores:
- Aplicar
a :
- Aplicar
a e a separadamente:
- Somar
e :
- Comparação:
e . Elas diferem na primeira componente, logo para (a) temos desigualdade entre as duas quantidades.
Passo 4
Cálculos para o item (b).
- Soma dos vetores:
- Aplicar
a :
- Aplicar
a e a separadamente:
- Somar
e :
- Comparação:
e . Elas diferem na primeira componente, logo para (b) também há desigualdade.
Passo 5
Teste e explicação sobre linearidade (didático).
- Lembrete da propriedade necessária: se
é linear então , onde . - Calcular
:
- Como
, a condição necessária para linearidade falha. Portanto não é linear. - Intuição: o termo constante
na primeira coordenada cria um deslocamento (translação) — transformações que adicionam uma constante não respeitam a propriedade de homogeneidade nem a aditividade para todos os vetores, por isso é uma transformação afim, não linear.
Resposta
a)
b)
não é uma transformação linear.
b)