Determine a transformada de Fourier de cada função abaixo, utilizando as propriedades:
f(t)=5 \cdot u(t-2)+3 \cdot \delta(t-4)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de f(t)=5\,u(t-2)+3\,\delta(t-4). O conteúdo envolve a transformada de Fourier da função degrau unitário u(t), da delta de Dirac \delta(t) e a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Lembramos que, na convenção
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dt,
a transformada de u(t) é
\mathcal{F}\{u(t)\}(\omega)=\pi\,\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}.

Passo 3

Pela propriedade de deslocamento no tempo, \mathcal{F}\{f(t-a)\}(\omega)=e^{-j\omega a}F(\omega). Logo, para a parcela 5\,u(t-2),
\mathcal{F}\{5\,u(t-2)\}(\omega) =5\,e^{-j\omega 2}\Bigl(\pi\,\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\Bigr).

Passo 4

Sabendo que \mathcal{F}\{\delta(t-a)\}(\omega)=e^{-j\omega a}, temos
\mathcal{F}\{3\,\delta(t-4)\}(\omega)=3\,e^{-j\omega 4}.

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos
F(\omega)=5\,e^{-j2\omega}\Bigl(\pi\,\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\Bigr)+3\,e^{-j4\omega}.
Notando que e^{-j2\omega}\delta(\omega)=\delta(\omega), podemos escrever também
F(\omega)=5\,\pi\,\delta(\omega)+\frac{5\,e^{-j2\omega}}{j\omega}+3\,e^{-j4\omega}.

Resposta

F(\omega)=5\,e^{-j2\omega}\Bigl(\pi\,\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\Bigr)+3\,e^{-j4\omega}
ou equivalentemente
F(\omega)=5\,\pi\,\delta(\omega)+\frac{5\,e^{-j2\omega}}{j\omega}+3\,e^{-j4\omega}.

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