Determine a transformada de Fourier de cada função abaixo, utilizando as propriedades:
h(t)=\frac{5}{4+t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
h(t)=\frac{5}{4+t^{2}}
O que precisamos é usar a propriedade de linearidade (constante sai da transformada) e um par básico de tabelas: a transformada de \tfrac{1}{t^{2}+a^{2}}.

Passo 2

A partir da tabela de transformadas conhecemos o seguinte resultado (definição \displaystyle H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)e^{-j\omega t}\,dt):
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-j\omega t}}{t^{2}+a^{2}}\,dt =\frac{\pi}{a}\,e^{-a|\omega|}.

Passo 3

No nosso caso temos a^{2}=4, ou seja a=2. Logo, aplicando esse par,
\mathcal{F}\Big\{\frac{1}{4+t^{2}}\Big\} =\frac{\pi}{2}\,e^{-2|\omega|}.

Passo 4

Pela propriedade de linearidade (multiplicação por constante no tempo gera mesma constante no domínio da frequência), obtemos
\mathcal{F}\{h(t)\} =\mathcal{F}\Big\{\frac{5}{4+t^{2}}\Big\} =5\;\mathcal{F}\Big\{\frac{1}{4+t^{2}}\Big\} =5\;\frac{\pi}{2}\,e^{-2|\omega|}.

Resposta

H(\omega)=\frac{5\pi}{2}\,e^{-2|\omega|}.

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