Determine a transformada de Fourier de cada função abaixo, utilizando as propriedades:
g(t)=e^{-j 2 t} \cdot \cos (10 t)-2 \cdot \operatorname{ret}(t / 4)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
g(t)=e^{-j2t}\,\cos(10t)\;-\;2\;\ret\!\bigl(t/4\bigr),
onde usaremos:
– a linearidade da transformada;
– a propriedade de deslocamento em frequência \mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t}f(t)\} = F(\omega-\omega_0);
– a transformada da função retangular \ret(t/4).

Passo 2

Começamos quebrando e^{-j2t}\cos(10t) em soma de exponenciais. Lembrando que
\cos(10t)=\tfrac12\bigl(e^{j10t}+e^{-j10t}\bigr),
temos
e^{-j2t}\cos(10t) =\tfrac12\bigl(e^{-j2t}e^{j10t}+e^{-j2t}e^{-j10t}\bigr) =\tfrac12\bigl(e^{j8t}+e^{-j12t}\bigr).

Passo 3

Aplicando a transformada de Fourier no termo \tfrac12 e^{j8t}:
– sabemos que
\mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t}\} = 2\pi\,\delta(\omega-\omega_0).
– Logo
\mathcal{F}\{\tfrac12\,e^{j8t}\} =\tfrac12\cdot2\pi\,\delta(\omega-8) =\pi\,\delta(\omega-8).
Analogamente, para \tfrac12e^{-j12t} obtemos
\mathcal{F}\{\tfrac12\,e^{-j12t}\} =\tfrac12\cdot2\pi\,\delta(\omega+12) =\pi\,\delta(\omega+12).

Passo 4

Agora a transformada de -2\,\ret(t/4). Primeiro a transformada de \ret(t/4):
\ret(t/4) é 1 em |t|\le2 e zero fora;
\mathcal{F}\{\ret(t/4)\} =\int_{-2}^{2}e^{-j\omega t}\,dt =4\,\frac{\sin(2\omega)}{2\omega} =4\,\sinc(2\omega),
onde definimos \sinc(x)=\dfrac{\sin x}{x}.
– Multiplicando por -2,
\mathcal{F}\{-2\,\ret(t/4)\} =-2\cdot4\,\sinc(2\omega) =-8\,\sinc(2\omega).

Passo 5

Pela linearidade, somamos os resultados dos dois termos:
G(\omega) =\mathcal{F}\{e^{-j2t}\cos(10t)\} \;+\;\mathcal{F}\{-2\,\ret(t/4)\}.
Substituindo cada parte:
G(\omega) =\bigl[\pi\,\delta(\omega-8)+\pi\,\delta(\omega+12)\bigr] \;-\;8\,\sinc(2\omega).

Resposta

\boxed{ G(\omega) =\pi\,\delta(\omega-8) +\pi\,\delta(\omega+12) \;-\;8\,\sinc\bigl(2\omega\bigr) }.

Exercícios relacionados