Sejam duas cargas pontuais iguais, de 100 \mu \mathrm{C} cada, localizadas nos seguintes pontos (posição em coordenadas cartesianas e em metros) : ( 10,0,0 ) e ( -10,0,0 ). Uma carga pontual de 10 \mu \mathrm{C} e massa m foi colocada no ponto ( 0,0,10 ). Calcular qual deve ser a massa m desta carga pontual de forma que ela esteja em equilíbrio mecânico. Considerar que o plano xy está sobre o solo e que a carga de massa m possa se deslocar livremente ao longo do eixo z .

Passo 1

O enunciado dá duas cargas iguais Q=100\,\mu\mathrm{C} fixas em (10,0,0) e (-10,0,0), e uma terceira carga q=10\,\mu\mathrm{C} de massa m em (0,0,10). Queremos m tal que a força elétrica resultante no eixo z se anule com o peso, garantindo equilíbrio. Vamos usar a lei de Coulomb e só considerar a componente vertical da força elétrica.

Passo 2

Cada uma das cargas Q exerce em q uma força de módulo
F = \frac{k\,Q\,q}{r^2},
onde
r = \sqrt{a^2 + z^2} \quad\text{com}\quad a = 10\text{ m},\;z=10\text{ m},
e k=9\times10^9\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}. A componente vertical dessa força é
F_z = F\,\cos\theta = \frac{k\,Q\,q}{r^2}\,\frac{z}{r} = \frac{k\,Q\,q\,z}{r^3}.

Passo 3

Como há duas cargas simétricas, a força elétrica total para cima vale
F_{\text{el}} = 2\,F_z = 2\,\frac{k\,Q\,q\,z}{r^3}.
Em equilíbrio mecânico F_{\text{el}} deve igualar o peso m\,g, logo
m\,g = 2\,\frac{k\,Q\,q\,z}{r^3} \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2\,k\,Q\,q\,z}{g\,r^3}.

Passo 4

Substituindo valores numéricos:
Q = 100\times10^{-6}\,\mathrm{C}, \quad q = 10\times10^{-6}\,\mathrm{C}, \quad z = 10\\ \mathrm{m}, \quad r = \sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt2\\ \mathrm{m}, \quad g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Então
m = \frac{2\,(9\times10^9)\,(100\times10^{-6})\,(10\times10^{-6})\,(10)} {9{,}8\,(10\sqrt2)^3} = \frac{2\cdot9\cdot10^{-9}\cdot10}{9{,}8\cdot1000\,(2\sqrt2)} \approx 6{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.

Resposta

A massa deve ser aproximadamente
m \approx 6{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.

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