Determine a transformada de Fourier das funções abaixo:
Seja
uma função contínua tal que
quando
. Além disso, suponha que
seja absolutamente integrável. Mostre que
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses
-
é contínua e quando , -
é absolutamente integrável,
temos
O método principal será aplicar integração por partes na definição da transformada de
.
Passo 2
Começamos escrevendo a transformada de Fourier de
:
Queremos reescrever essa integral de modo a obter um fator
multiplicando
.
Passo 3
Aplicamos integração por partes escolhendo
então
A fórmula de integração por partes dá
Passo 4
Pelas condições do enunciado,
. Logo o termo de contorno desaparece:
Portanto sobra
Passo 5
Reconhecendo a transformada de Fourier de
no segundo integral, concluímos