Determine a transformada de Fourier das funções abaixo:
Seja f(t) uma função contínua tal que f(t) longrightarrow 0 quando |t| longrightarrow infty. Além disso, suponha que f^prime(t) seja absolutamente integrável. Mostre que Ff^prime(t)=i w Ff(t).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses
  1. f(t) é contínua e f(t)to0 quando |t|toinfty,
  2. f'(t) é absolutamente integrável,
temos
Ff'(t)( omega ) = i,omega,Ff(t)( omega )
O método principal será aplicar integração por partes na definição da transformada de f'(t).

Passo 2

Começamos escrevendo a transformada de Fourier de f'(t):
Ff'(t)(omega) = integral-infty^infty f'(t),e^-iomega t,dt
Queremos reescrever essa integral de modo a obter um fator iomega multiplicando integral f(t)e^-iomega tdt.

Passo 3

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = e^-iomega t, dv = f'(t),dt,
então
du = -iomega,e^-iomega t,dt, v = f(t)
A fórmula de integração por partes dá
integral-infty^infty f'(t),e^-iomega t,dt = l[f(t),e^-iomega tr]t=-infty^t=+infty - integral-infty^infty f(t),l(-iomega,e^-iomega tr),dt

Passo 4

Pelas condições do enunciado, limttopminftyf(t)=0. Logo o termo de contorno desaparece:
l[f(t),e^-iomega tr]-infty^+infty=0
Portanto sobra
integral-infty^infty f'(t),e^-iomega t,dt = iomega integral-infty^infty f(t),e^-iomega t,dt

Passo 5

Reconhecendo a transformada de Fourier de f(t) no segundo integral, concluímos
Ff'(t)(omega) = i,omega,Ff(t)(omega)

Resposta

Ff'(t)(omega)=i,omega,Ff(t)(omega)

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