Sejam f, g: S subset R^2 R duas funções de classe C^2 definidas no aberto S. Seja R uma região contida em S cuja fronteira é uma curva de Jordan suave por partes. Prove as seguintes identidades, em que De<a=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2 :
\oint_{C} f \frac{\partial g}{\partial n}-g \frac{\partial f}{\partial n} d s=\iint_{R}[f \Delta g-g \Delta f] d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para provar a segunda identidade de Green no plano, que diz que, para duas funções f,gin C^2(S) e uma região Rsubset S com fronteira C suave por partes e orientada externamente, vale
ointCl(f,partial gpartial n-g,partial fpartial nr),ds = integral duplaRl(f,De<a g - g,De<a fr),dx,dy,
onde De<a=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2 e partialpartial n é a derivada na direção do vetor normal unitário externo. Para resolver, vamos usar o Teorema da Divergência no plano.

Passo 2

Definimos o vetor normal unitário externo em cada ponto de C como n=(n1,n2). Por definição de derivada direcional,
partial gpartial n =nabla gcdotn =partial gpartial x,n1+partial gpartial y,n2,
e de forma análoga
partial fpartial n=nabla fcdotn.

Passo 3

Considere o campo vetorial
F(x,y) = f(x,y),nabla g(x,y);-;g(x,y),nabla f(x,y)
Então, ao longo da fronteira C,
Fcdotn = l(f,nabla g - g,nabla fr)cdotn = f,(nabla gcdotn) - g,(nabla fcdotn) = f,partial gpartial n - g,partial fpartial n
Logo o integrando de linha é Fcdotn.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F:
nablacdotF = nablacdotl(f,nabla gr) ;-;nablacdotl(g,nabla fr)
Usando a regra do produto para divergência,
nablacdotl(f,nabla gr) = f,De<a g + nabla fcdotnabla g, nablacdotl(g,nabla fr) = g,De<a f + nabla gcdotnabla f
Subtraindo, vem
nablacdotF = l(f,De<a g + nabla fcdotnabla gr) -l(g,De<a f + nabla gcdotnabla fr) = f,De<a g - g,De<a f

Passo 5

Pelo Teorema da Divergência no plano (ou Teorema de Gauss bidimensional), para uma região R com fronteira C e campo Fin C^1,
integral duplaRnablacdotF,dx,dy = ointCFcdotn,ds
Substituindo os resultados dos passos anteriores,
integral duplaRl(f,De<a g - g,De<a fr),dx,dy = ointCl(f,tfracpartial gpartial n - g,tfracpartial fpartial nr),ds

Resposta

boxed ointCl(f,partial gpartial n-g,partial fpartial nr),ds = integral duplaRl(f,De<a g - g,De<a fr),dx,dy

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