Sejam
duas funções de classe
definidas no aberto
. Seja
uma região contida em
cuja fronteira é uma curva de Jordan suave por partes. Prove as seguintes identidades, em que
:
\oint_{C} f \frac{\partial g}{\partial n}-g \frac{\partial f}{\partial n} d s=\iint_{R}[f \Delta g-g \Delta f] d x d y.
\oint_{C} f \frac{\partial g}{\partial n}-g \frac{\partial f}{\partial n} d s=\iint_{R}[f \Delta g-g \Delta f] d x d y.
Passo 1
O enunciado pede para provar a segunda identidade de Green no plano, que diz que, para duas funções
e uma região
com fronteira
suave por partes e orientada externamente, vale
onde
e
é a derivada na direção do vetor normal unitário externo. Para resolver, vamos usar o Teorema da Divergência no plano.
Passo 2
Definimos o vetor normal unitário externo em cada ponto de
como
. Por definição de derivada direcional,
e de forma análoga
.
Passo 3
Considere o campo vetorial
Então, ao longo da fronteira
,
Logo o integrando de linha é
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
:
Usando a regra do produto para divergência,
Subtraindo, vem
Passo 5
Pelo Teorema da Divergência no plano (ou Teorema de Gauss bidimensional), para uma região
com fronteira
e campo
,
Substituindo os resultados dos passos anteriores,