1. (a) Ache y^prime onde x^2-x y+32 y^2=152.
    (b) Onde a reta normal à curva dada no ponto (-2,1) intercepta a curva uma segunda vez?

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^2-x,y+32y^2=152,
pede (a) a derivada y' por diferenciação implícita e (b) a segunda interseção dessa curva com a reta normal à curva no ponto (-2,1). Para isso vamos usar:
– Diferenciação implícita para achar y'.
– Relação entre declive da tangente e da normal.
– Resolução de sistema curva +reta para achar a segunda interseção.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
ddxl(x^2r) -ddxl(x,yr) +32,ddxl(y^2r)=0
Calculando termo a termo:
2x-l(y + x,y'r) +32l(2y,y'r)=0 ;Longrightarrow; 2x-y - x,y' +3y,y'=0
Agrupando os termos em y':
(-x+3y),y' = y-2x Longrightarrow y'=y-2x3y-x

Passo 3

No ponto (-2,1) o declive da tangente é
y'(-2,1)=1-2(-2)3cdot1-(-2) =1+43+2=1
Logo o declive da normal é -1 e sua equação é
y-1=-1,(x+2) ;Longrightarrow; y=-x-1

Passo 4

Para achar as interseções da curva com y=-x-1, substituímos em
x^2-x,y+tfrac32y^2=tfrac152
Como y=-x-1, temos
x^2-x(-x-1)+tfrac32(-x-1)^2=tfrac152 ;Longrightarrow; 2x^2+x+tfrac32(x^2+2x+1)=tfrac152
Multiplicando tudo por 2 e somando termos:
7x^2+8x-12=0 ;Longrightarrow; x=-8pm2014inl-2,tfrac67r
O ponto x=-2 já é o dado, então a segunda interseção é
x=tfrac67, y=-tfrac67-1=-tfrac137

Resposta

(a) y'=y-2x3y-x
(b) A segunda interseção da reta normal com a curva é l(tfrac67,-tfrac137r).

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