Determine a Transformada de Fourier dos seguintes sinais:
;
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a Transformada de Fourier de
onde .
O que vamos usar aqui:
O que vamos usar aqui:
- O par conhecido .
- O Teorema da Convolução no domínio da frequência, que diz que multiplicar no tempo é convoluir na frequência.
Passo 2
Primeiro, lembrar o resultado básico:
com
Isso a gente já aceita como um par clássico de Fourier (pode derivar por integral, mas aqui já vamos usar direto).
Passo 3
Agora, nossa .
Usando o Teorema da Convolução:
Usando o Teorema da Convolução:
Ou seja, a Transformada é a convolução de duas funções retangulares idênticas.
Passo 4
Vamos calcular .
Convolução:
Convolução:
Mas só se
e só se
.
O resultado desse “sobrepôr” retângulos deslocados é uma função triangular com base total e pico em
.
O valor máximo (em ) é a área de sobreposição quando os dois retângulos estão totalmente alinhados, ou seja, 1.
Para , a sobreposição cai linearmente de 1 até 0, e para
não há sobreposição.
O resultado desse “sobrepôr” retângulos deslocados é uma função triangular com base total
O valor máximo (em
Para
Resposta
[
\boxed{
\mathcal{F}{\sinc^2(t)}(f)
}
]
Em outras palavras, a transformada é uma função triangular de base
e pico igual a 1.