Determine a Transformada de Fourier dos seguintes sinais:
x(t)=sinc^2(t);

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a Transformada de Fourier de
onde .
O que vamos usar aqui:
  1. O par conhecido .
  2. O Teorema da Convolução no domínio da frequência, que diz que multiplicar no tempo é convoluir na frequência.

Passo 2

Primeiro, lembrar o resultado básico:
com
Isso a gente já aceita como um par clássico de Fourier (pode derivar por integral, mas aqui já vamos usar direto).

Passo 3

Agora, nossa .
Usando o Teorema da Convolução:
Ou seja, a Transformada é a convolução de duas funções retangulares idênticas.

Passo 4

Vamos calcular .
Convolução:
Mas só se (RectastRect)(f) =integral-infty^inftyRect(nu),Rect(f-nu),dnu e só se .
O resultado desse “sobrepôr” retângulos deslocados é uma função triangular com base total e pico em .
O valor máximo (em ) é a área de sobreposição quando os dois retângulos estão totalmente alinhados, ou seja, 1.
Para , a sobreposição cai linearmente de 1 até 0, e para não há sobreposição.

Resposta

[
\boxed{
\mathcal{F}{\sinc^2(t)}(f)

boxed Fsinc^2(t)(f) = 1 - |f|, & |f|<=1, 0, & |f|>1
}
]
Em outras palavras, a transformada é uma função triangular de base e pico igual a 1.

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