Determine a Transformada de Fourier dos seguintes sinais:
z(t)=cos ^2(10 pi t) sinc(t).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a Transformada de Fourier do sinal
.
Aqui o conteúdo é Transformada de Fourier, e a gente vai usar:
  • A identidade trigonométrica .
  • A transformada de .
  • A propriedade de modulação (multiplicar por ou desloca o espectro).

Passo 2

Primeiro, simplificar cos^2(10pi t) ;=; 1 + cosl(2cdot 10pi tr)2 ;=; 1 + cos(20pi t)2 usando a identidade trigonométrica:
z(t) ;=; cos^2(10pi t),sinc(t) ;=; 12,sinc(t) ;+; 12,cos(20pi t),sinc(t)
Então

Passo 3

Reescrevendo o termo com cosseno em exponenciais complexas (pra aplicar fácil a modulação):
cos(20pi t) = e^j20pi t + e^-j20pi t2,
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Substituindo em cos(20pi t),sinc(t) = 12,e^j20pi t,sinc(t) + 12,e^-j20pi t,sinc(t) :

Passo 4

Agora a teoria:
  • A transformada de , onde , é
com para Fsinc(t)(f) = rect(f), e zero fora.
  • Propriedade de modulação:
    .

Passo 5

Aplicando a transformada em cada termo:
  1. vira .
  2. . Note que , então aqui . Pela modulação fica .
  3. Igualmente, vira .

Resposta

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