Encontre a transformada de Fourier de f(x) :
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x,|x|<1 \\\\ 0,|x|>1\end{array}\right

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Fourier de f(x)\), onde a função é dada por: \[f(x)=\begin{cases}x, & |x|<1,\\[4pt] 0, & |x|>1.\end{cases}
Informações importantes fornecidas:
  • A função vale x\] no intervalo \([-1,1] e é zero fora desse intervalo.
  • A tarefa é calcular a transformada de Fourier de f para todo \omega.]

Passo 2

Vou usar a convenção de transformada de Fourier
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx,
onde:
  • x é a variável no domínio original (espaço/tempo),
  • \omega é a frequência angular,
  • i é a unidade imaginária ( i^2=-1).
    Como f(x)=0 fora de [-1,1], a integral se reduz a
F(\omega)=\int_{-1}^{1} x\,e^{-i\omega x}\,dx.

Passo 3

Antes de integrar, observe que há dois casos práticos: \omega\neq0 e \omega=0. Vou primeiro calcular para \omega\neq0 e depois tomar o limite \omega\to0 para obter o valor em zero (ou avaliar diretamente).

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{-1}^{1} x\,e^{-i\omega x}\,dx uso integração por partes. Lembrando a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
escolho
u=x,\qquad dv=e^{-i\omega x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v=\int e^{-i\omega x}\,dx = -\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega x},
válido para \omega\neq0.

Passo 5

Aplicando integração por partes:
\int_{-1}^{1} x\,e^{-i\omega x}\,dx = \Big[-\frac{x}{i\omega}e^{-i\omega x}\Big]_{-1}^{1} + \frac{1}{i\omega}\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx.
Agora calculo cada termo separadamente.

Passo 6

Cálculo do termo de fronteira:
\Big[-\frac{x}{i\omega}e^{-i\omega x}\Big]_{-1}^{1} = -\frac{1}{i\omega}\big(1\cdot e^{-i\omega} - (-1)\cdot e^{i\omega}\big) = -\frac{1}{i\omega}\big(e^{-i\omega}+e^{i\omega}\big).
Como e^{-i\omega}+e^{i\omega}=2\cos\omega, esse termo é
-\frac{2\cos\omega}{i\omega}.

Passo 7

Cálculo da integral remanescente:
\frac{1}{i\omega}\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx = \frac{1}{i\omega}\Big[-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega x}\Big]_{-1}^{1} = \frac{-1}{(i\omega)^2}\big(e^{-i\omega}-e^{i\omega}\big).
Como (i\omega)^2 = -\omega^2 e e^{-i\omega}-e^{i\omega}=-2i\sin\omega, obtemos
\frac{-1}{(i\omega)^2}\big(e^{-i\omega}-e^{i\omega}\big) = \frac{-1}{-\,\omega^2}\big(-2i\sin\omega\big) = -\frac{2i\sin\omega}{\omega^2}.

Passo 8

Somando os dois termos (fronteira + remanescente):
F(\omega)= -\frac{2\cos\omega}{i\omega} - \frac{2i\sin\omega}{\omega^2}.
Simplificando -\dfrac{2\cos\omega}{i\omega} = \dfrac{2i\cos\omega}{\omega}, tem-se
F(\omega)=2i\left(\frac{\cos\omega}{\omega} - \frac{\sin\omega}{\omega^2}\right).
Uma forma compacta é
F(\omega)=2i\,\frac{\omega\cos\omega-\sin\omega}{\omega^2},
válida para \omega\neq0.

Passo 9

Agora trato o caso \omega=0. Pela definição,
F(0)=\int_{-1}^{1} x\,dx = 0,
porque integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico obtém-se zero. Verifico que o limite da expressão encontrada quando \omega\to0 também vale zero (expansão em série ou regra de l’Hôpital dá \lim_{\omega\to0}2i(\cos\omega/\omega - \sin\omega/\omega^2)=0), então a expressão é contínua com valor zero em \omega=0.

Passo 10

Comentário final curto e motivador: deu trabalho, mas o passo essencial foi restringir a integral ao suporte [-1,1] e aplicar integração por partes com cuidado nas manipulações complexas. Lembre-se: como f é ímpar, a transformada é puramente imaginária e ímpar em \omega, o que aparece na forma final (fatores i e funções ímpares de \omega).

Resposta

\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\begin{cases} 2i\displaystyle\left(\dfrac{\cos\omega}{\omega}-\dfrac{\sin\omega}{\omega^{2}}\right), & \omega\neq0,\\[10pt] 0, & \omega=0. \end{cases}]

Exercícios relacionados