Encontre a transformada de Fourier de
:
’
’
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Fourier de
Informações importantes fornecidas:
- A função vale e é zero fora desse intervalo.
- A tarefa é calcular a transformada de Fourier de
para todo .]
Passo 2
Vou usar a convenção de transformada de Fourier
onde:
-
é a variável no domínio original (espaço/tempo), -
é a frequência angular, -
é a unidade imaginária ( ).
Comofora de , a integral se reduz a
Passo 3
Antes de integrar, observe que há dois casos práticos:
e
. Vou primeiro calcular para
e depois tomar o limite
para obter o valor em zero (ou avaliar diretamente).
Passo 4
Para calcular
uso integração por partes. Lembrando a fórmula
escolho
Então
válido para
.
Passo 5
Aplicando integração por partes:
Agora calculo cada termo separadamente.
Passo 6
Cálculo do termo de fronteira:
Como
, esse termo é
Passo 7
Cálculo da integral remanescente:
Como
e
, obtemos
Passo 8
Somando os dois termos (fronteira + remanescente):
Simplificando
, tem-se
Uma forma compacta é
válida para
.
Passo 9
Agora trato o caso
. Pela definição,
porque integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico obtém-se zero. Verifico que o limite da expressão encontrada quando
também vale zero (expansão em série ou regra de l’Hôpital dá
), então a expressão é contínua com valor zero em
.
Passo 10
Comentário final curto e motivador: deu trabalho, mas o passo essencial foi restringir a integral ao suporte
e aplicar integração por partes com cuidado nas manipulações complexas. Lembre-se: como
é ímpar, a transformada é puramente imaginária e ímpar em
, o que aparece na forma final (fatores
e funções ímpares de
).