Determine a transformada de Fourier de cossenos de f(x) : f(x)=\left\{\begin{array}{l}1,0 \leq x<1 \\\\ 0, x \geq 1\end{array} \quad\right.’
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de cossenos de f(x)\). A função dada é
\[f(x)=\begin{cases} 1, & 0 \le x < 1,\\[4pt] 0, & x \ge 1. \end{cases}
Pergunta explícita: calcular \mathcal{F}_c\{f\}(\omega)\], a transformada de Fourier de cossenos de \(f. As informações relevantes são que f(x)=1 no intervalo [0,1) e f(x)=0 para x\ge1; portanto f tem suporte compacto em [0,1] e é integrável em [0,\infty).]
Passo 2
Definição usada (anote bem): a transformada de Fourier de cossenos de uma função g definida em [0,\infty) é
Aqui \omega é a variável de frequência (real), x é a variável no domínio original, e a integral é própria se g for integrável. No nosso caso g=f e f é zero fora de [0,1), então a integral sobre [0,\infty) reduz-se a uma integral sobre [0,1].
Explicando: como f(x)=1 para 0\le x<1 e f(x)=0 para x\ge1, todos os contributos da integral vêm apenas de x\in[0,1].
Passo 4
Calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{1}\cos(\omega x)\,dx. Para \omega\neq 0 a primitiva de \cos(\omega x) é \dfrac{\sin(\omega x)}{\omega}. Assim,
Mostrei cada passo: encontrei a primitiva, avaliei nos limites 0 e 1 e simplifiquei.
Passo 5
Tratar o caso \omega=0 (importante em provas): para \omega=0 a expressão \dfrac{\sin(\omega)}{\omega} está na forma indeterminada 0/0. Calcula-se o limite
\lim_{\omega\to 0}\frac{\sin(\omega)}{\omega}=1.
Justificação simples: usando a expansão em série \sin(\omega)=\omega+o(\omega) quando \omega\to0, fica claro que a razão tende a 1. Alternativamente, usa-se a desigualdade \cos x \le 1 e o teorema do confronto para obter o mesmo resultado. Portanto o valor da transformada em \omega=0 é 1.
Passo 6
Conclusão final e interpretação: para todo \omega\in\mathbb{R} a transformada de Fourier de cossenos de f é dada por \dfrac{\sin(\omega)}{\omega}, com o valor definido por continuidade em \omega=0 igual a 1. Essa função é frequentemente chamada de função sinc (não normalizada): \mathrm{sinc}(\omega)=\dfrac{\sin\omega}{\omega}.