Determine a Transformada de Fourier do sinal x(t)=\mathrm{Sa}(3 t) \cos (10 t).
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier do sinal x(t)=\mathrm{Sa}(3t)\cos(10t). As informações dadas são:
O sinal é x(t)=\mathrm{Sa}(3t)\cos(10t).
Vou assumir a definição clássica usada em muitos livros de sinais: \mathrm{Sa}(u)=\dfrac{\sin u}{u}. (Se a sua turma usa outra definição com \pi, o raciocínio é igual, só mudam constantes numéricas.)
A pergunta é: calcular X(\omega), a transformada de Fourier de x(t), usando a convenção
Explicação curta do porquê: na integral da transformada aparece e^{-j\omega t}\cdot e^{j\omega_0 t}=e^{-j(\omega-\omega_0)t}, o que corresponde à transformada original com \omega substituído por \omega-\omega_0.
Passo 3
Primeiro escrevo x(t) usando a decomposição da cosseno:
Portanto meu problema reduz-se a achar A(\omega)=\mathcal{F}\{\mathrm{Sa}(3t)\}.
Passo 4
Agora vamos achar A(\omega)=\mathcal{F}\{\mathrm{Sa}(3t)\}\) passo a passo. Lembre que, pela definição que assumimos,
\[\mathrm{Sa}(3t)=\frac{\sin(3t)}{3t}.
Um par conhecido e muito útil é o seguinte (vou escrever e explicar):
ou seja, \dfrac{\sin(\omega_c t)}{\pi t}\] transforma-se numa função retangular em \[\omega que vale 1 para |\omega|<\omega_c (e nas bordas geralmente toma 1/2, mas isso não importará aqui). Explicando: essa é a relação clássica entre a função sinc no tempo e uma janela retangular na frequência — é uma das transformadas padrão.
Queremos \dfrac{\sin(3t)}{3t}. Relacionamos com a forma acima:
(Valores exatos nas fronteiras |\omega|=3\] são irrelevantes para a maioria das aplicações; podem ser tomados como \(\pi/6 ou média, mas não afeta o resultado prático.)]
Passo 5
Voltando a X(\omega), usei antes a decomposição e a propriedade de deslocamento. Substituindo A(\omega) no resultado da Passo 3:
Cada A(\cdot) é uma janela retangular de amplitude \dfrac{\pi}{3} centrada em 0 com meia- largura 3. Portanto A(\omega-10) é a mesma janela centrada em \omega=10 e A(\omega+10) é centrada em \omega=-10. Multiplicando por 1/2 dá amplitude \dfrac{\pi}{6} para cada janela. Logo:
onde \mathbf{1}_{\{\cdot\}} é a função indicadora (vale 1 quando a condição é verdadeira e 0 caso contrário). Em palavras: X(\omega) é a soma de duas retângulos de altura \dfrac{\pi}{6}, um centrado em +10 (não nulo para |\omega-10|<3) e outro centrado em -10 (não nulo para |\omega+10|<3). Como 10>3, essas duas janelas não se sobrepõem.
Passo 6
Escrevo o resultado final de forma clara e usual (peça final pronta para a prova):
Pronto — fizemos com passos pequenos: decomposição em exponenciais, uso do par sinc-retângulo, e aplicação da propriedade de deslocamento em frequência. Força aí — é esse tipo de solução que costuma cair em prova e você já tem o esquema pronto.