Determine a Transformada de Fourier do sinal x(t)=\mathrm{Sa}(3 t) \cos (10 t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier do sinal x(t)=\mathrm{Sa}(3t)\cos(10t). As informações dadas são:
  • O sinal é x(t)=\mathrm{Sa}(3t)\cos(10t).
  • Vou assumir a definição clássica usada em muitos livros de sinais: \mathrm{Sa}(u)=\dfrac{\sin u}{u}. (Se a sua turma usa outra definição com \pi, o raciocínio é igual, só mudam constantes numéricas.)
  • A pergunta é: calcular X(\omega), a transformada de Fourier de x(t), usando a convenção
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.

Passo 2

Vou lembrar duas propriedades/fatos que vamos usar (explico cada uma com calma):
  1. Decomposição da cosseno em exponenciais complexas:
\cos(10t)=\frac{e^{j10t}+e^{-j10t}}{2}.
Isto é útil porque a transformada é linear e a modulação por e^{\pm j10t} corresponde a deslocamento em frequência.
  1. Propriedade de modulação (deslocamento em frequência):
    Se x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}X(\omega), então
x(t)e^{j\omega_0 t}\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega-\omega_0).
Explicação curta do porquê: na integral da transformada aparece e^{-j\omega t}\cdot e^{j\omega_0 t}=e^{-j(\omega-\omega_0)t}, o que corresponde à transformada original com \omega substituído por \omega-\omega_0.

Passo 3

Primeiro escrevo x(t) usando a decomposição da cosseno:
x(t)=\mathrm{Sa}(3t)\cos(10t)=\frac{1}{2}\mathrm{Sa}(3t)e^{j10t}+\frac{1}{2}\mathrm{Sa}(3t)e^{-j10t}.
Pela linearidade da transformada, se eu chamar A(\omega) a transformada de \mathrm{Sa}(3t), então
X(\omega)=\frac{1}{2}A(\omega-10)+\frac{1}{2}A(\omega+10).
Portanto meu problema reduz-se a achar A(\omega)=\mathcal{F}\{\mathrm{Sa}(3t)\}.

Passo 4

Agora vamos achar A(\omega)=\mathcal{F}\{\mathrm{Sa}(3t)\}\) passo a passo. Lembre que, pela definição que assumimos, \[\mathrm{Sa}(3t)=\frac{\sin(3t)}{3t}.
Um par conhecido e muito útil é o seguinte (vou escrever e explicar):
\mathcal{F}\left\{\frac{\sin(\omega_c t)}{\pi t}\right\} = \begin{cases} 1, & |\omega|<\omega_c,\\[4pt] 0, & |\omega|>\omega_c, \end{cases}
ou seja, \dfrac{\sin(\omega_c t)}{\pi t}\] transforma-se numa função retangular em \[\omega que vale 1 para |\omega|<\omega_c (e nas bordas geralmente toma 1/2, mas isso não importará aqui). Explicando: essa é a relação clássica entre a função sinc no tempo e uma janela retangular na frequência — é uma das transformadas padrão.
Queremos \dfrac{\sin(3t)}{3t}. Relacionamos com a forma acima:
\frac{\sin(3t)}{3t} = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sin(3t)}{t} = \frac{\pi}{3}\cdot\frac{\sin(3t)}{\pi t}.
Aplicando a transformada conhecida, multiplicar no tempo por constante escala a amplitude na frequência pela mesma constante. Assim:
\mathcal{F}\left\{\frac{\sin(3t)}{3t}\right\} = \frac{\pi}{3}\cdot \begin{cases} 1, & |\omega|<3,\\[4pt] 0, & |\omega|>3. \end{cases}
Em forma compacta:
A(\omega)=\mathcal{F}\{\mathrm{Sa}(3t)\}=\begin{cases} \displaystyle \frac{\pi}{3}, & |\omega|<3,\\[6pt] 0, & |\omega|>3. \end{cases}
(Valores exatos nas fronteiras |\omega|=3\] são irrelevantes para a maioria das aplicações; podem ser tomados como \(\pi/6 ou média, mas não afeta o resultado prático.)]

Passo 5

Voltando a X(\omega), usei antes a decomposição e a propriedade de deslocamento. Substituindo A(\omega) no resultado da Passo 3:
X(\omega)=\frac{1}{2}A(\omega-10)+\frac{1}{2}A(\omega+10).
Cada A(\cdot) é uma janela retangular de amplitude \dfrac{\pi}{3} centrada em 0 com meia- largura 3. Portanto A(\omega-10) é a mesma janela centrada em \omega=10 e A(\omega+10) é centrada em \omega=-10. Multiplicando por 1/2 dá amplitude \dfrac{\pi}{6} para cada janela. Logo:
X(\omega)=\frac{\pi}{6}\big(\mathbf{1}_{\{|\omega-10|<3\}}+\mathbf{1}_{\{|\omega+10|<3\}}\big),
onde \mathbf{1}_{\{\cdot\}} é a função indicadora (vale 1 quando a condição é verdadeira e 0 caso contrário). Em palavras: X(\omega) é a soma de duas retângulos de altura \dfrac{\pi}{6}, um centrado em +10 (não nulo para |\omega-10|<3) e outro centrado em -10 (não nulo para |\omega+10|<3). Como 10>3, essas duas janelas não se sobrepõem.

Passo 6

Escrevo o resultado final de forma clara e usual (peça final pronta para a prova):
X(\omega)=\frac{\pi}{6}\quad\text{se }|\omega-10|<3\quad\text{ou}\quad|\omega+10|<3,
e
X(\omega)=0\quad\text{caso contrário.}á
Pronto — fizemos com passos pequenos: decomposição em exponenciais, uso do par sinc-retângulo, e aplicação da propriedade de deslocamento em frequência. Força aí — é esse tipo de solução que costuma cair em prova e você já tem o esquema pronto.

Resposta

X(\omega)=\frac{\pi}{6}\big(\mathbf{1}_{\{|\omega-10|<3\}}+\mathbf{1}_{\{|\omega+10|<3\}}\big)

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