Evaluate the integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: os limites de integração são
e
; o integrando é a função
. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?
Passo 2
Primeiro simplificamos o integrando usando distribuição (multiplicação por soma):
Então a integral vira
Passo 3
Vou lembrar duas regras básicas de integração que vou usar (explicadas de forma simples):
- Regra da linearidade: a integral da soma é a soma das integrais:
- Regra do fator constante: uma constante pode sair da integral:
- Regra da potência (power rule): para
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é o expoente da variável
.
Aplicando essas regras à nossa integral:
Passo 4
Agora calculamos cada integral indefinida usando a regra da potência:
- Para
: trata-se de uma constante multiplicando . Pela regra da potência,
Expliquei: aqui usei
, então
; multiplicando por
cancela o denominador.
- Para
: usando a regra da potência com ,
Somando as duas primitivas, uma antiderivada do integrando é
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida: avaliar
nos limites e subtrair:
Calculemos:
e
Somando
e
: escrevendo
temos
Passo 6
Portanto o valor da integral é
. (Dica rápida para a prova: sempre que vir um produto simples como esse, distribua para termos mais fáceis e aplique a regra da potência; é rápido e seguro.)