Evaluate the integral.
\int_{0}^{2} x\left(2+x^{5}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} x\left(2+x^{5}\right)\,dx.
Informações dadas: os limites de integração são 0 e 2; o integrando é a função x(2+x^{5}). A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando usando distribuição (multiplicação por soma):
x\left(2+x^{5}\right)=2x+x^{6}.
Então a integral vira
\int_{0}^{2} \bigl(2x+x^{6}\bigr)\,dx.

Passo 3

Vou lembrar duas regras básicas de integração que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade: a integral da soma é a soma das integrais:
\int (f+g)=\int f + \int g.
  • Regra do fator constante: uma constante pode sair da integral:
\int c\cdot f = c\int f.
  • Regra da potência (power rule): para \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é o expoente da variável x.
Aplicando essas regras à nossa integral:
\int_{0}^{2} \bigl(2x+x^{6}\bigr)\,dx = \int_{0}^{2} 2x\,dx + \int_{0}^{2} x^{6}\,dx.

Passo 4

Agora calculamos cada integral indefinida usando a regra da potência:
  • Para \int 2x\,dx: trata-se de uma constante 2 multiplicando x=x^{1}. Pela regra da potência,
\int 2x\,dx = 2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
Expliquei: aqui usei n=1, então \int x^{1}\,dx = x^{2}/2; multiplicando por 2 cancela o denominador.
  • Para \int x^{6}\,dx: usando a regra da potência com n=6,
\int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7}.
Somando as duas primitivas, uma antiderivada do integrando é
F(x)=x^{2}+\frac{x^{7}}{7}.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida: avaliar F nos limites e subtrair:
\int_{0}^{2} \bigl(2x+x^{6}\bigr)\,dx = F(2)-F(0).
Calculemos:
F(2)=2^{2}+\frac{2^{7}}{7}=4+\frac{128}{7},
e
F(0)=0^{2}+\frac{0^{7}}{7}=0.
Somando 4 e \frac{128}{7}: escrevendo 4=\frac{28}{7} temos
4+\frac{128}{7}=\frac{28}{7}+\frac{128}{7}=\frac{156}{7}.

Passo 6

Portanto o valor da integral é \frac{156}{7}. (Dica rápida para a prova: sempre que vir um produto simples como esse, distribua para termos mais fáceis e aplique a regra da potência; é rápido e seguro.)

Resposta

\dfrac{156}{7}

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