Evaluate the integral.
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx.
Informações dadas:
1. A função integranda é x^{3}-2x.
2. Os limites de integração são a=-1 (inferior) e b=2 (superior).
Pergunta: encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das integrais, e constantes saem da integral. Assim,
\int (x^{3}-2x)\,dx = \int x^{3}\,dx - 2\int x\,dx.
Agora precisamos encontrar primitivas (antiderivadas) das funções x^{3} e x.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder (regra do polinômio) para integrar potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n=3 para x^{3} e n=1 para x. Então:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C,\qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
Voltando à combinação linear,
\int (x^{3}-2x)\,dx = \frac{x^{4}}{4} - 2\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = \frac{x^{4}}{4}-x^{2}+C.
Portanto uma antiderivada (primitiva) válida é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x^{2}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o valor da integral definida é F(b)-F(a), isto é,
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx = F(2)-F(-1).
Calculamos F(2) e F(-1) separadamente:
Para x=2:
F(2)=\frac{2^{4}}{4}-2^{2}=\frac{16}{4}-4=4-4=0.
Para x=-1:
F(-1)=\frac{(-1)^{4}}{4}-(-1)^{2}=\frac{1}{4}-1=\frac{1}{4}-\frac{4}{4}=-\frac{3}{4}.
Então
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx = 0 -\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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