Determine a transformada de Fourier do sinal
y(t)=t e^-a t u(t)
use a propriedade:
d X(j omega)d w stackrelF Tlong<=ftrightarrow-j t x(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a Transformada de Fourier do sinal
y(t)=t,e^-a t,u(t),
O conteúdo aqui é Transformada de Fourier e a propriedade de derivada no domínio da frequência:
d X(jomega)domega;stackrelFTlong<=ftrightarrow;-j,t,x(t),
Pra resolver a gente vai precisar:
  1. A TF de x(t)=e^-a tu(t).
  2. Aplicar a propriedade acima para incorporar o fator t.

Passo 2

Primeiro, lembra que
X(jomega)=Fe^-a tu(t)=integral0^inftye^-a te^-jomega t,dt =integral0^inftye^-(a+jomega)t,dt =1a+jomega,

Passo 3

Agora usa a propriedade. Temos y(t)=t,x(t) com x(t)=e^-a tu(t), e a propriedade diz:
F-j,t,x(t)=dX(jomega)domega,
Logo, se quisermos Ft,x(t) basta isolar:
Ft,x(t) =,j,dX(jomega)domega,

Passo 4

Vamos calcular a derivada de X(jomega)=1a+jomega:
ddomega(1a+jomega) =-1cdot1(a+jomega)^2cdotddomega(a+jomega) =-j(a+jomega)^2,
Multiplicando por j (da propriedade), a transformada de t,x(t) fica
Y(jomega) =j(-j(a+jomega)^2) =1(a+jomega)^2,,
já que jcdot(-j)=-j^2=1.

Resposta

boxedY(jomega)=1(a+jomega)^2,

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