Quando um trem de impulsos
x[n]=sumk=-infty^+infty de
é a entrada para um sistema linear invariante no tempo cuja resposta em frequência é H(e^j omega). A saída do sistema para a referida entrada é
y[n]=cos (5 pi2 n+pi4)
Determine os valores de H(e^j k pi / 2) para k=0,1,2 e 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um sistema LTI (linear e invariante no tempo) com resposta em frequência H(e^jomega). A entrada é um trem de impulsos
x[n]=sumk=-infty^+inftyde
e a saída resultante é
y[n]=cos!l(tfrac5pi2n+tfracpi4r),
O que precisamos encontrar são os valores de Hl(e^j kpi/2r) para k=0,1,2,3.
Para isso, vamos usar:
  1. a Transformada Discreta de Fourier (DTFT) de um trem de impulsos periódico;
  2. a DTFT de um cosseno;
  3. a propriedade fundamental de sistemas LTI, que diz Y(e^jomega)=H(e^jomega),X(e^jomega).

Passo 2

Primeiro, a DTFT do trem de impulsos x[n].
Sabemos que, para um trem de período N
sumk=-infty^inftyde
Aqui N=4, então
$$X(e{j\omega})=\frac{2\pi}{4}\sum_{m=0}{3}\delta!\bigl(\omega-\tfrac{\pi m}{2}\bigr)
=\frac{\pi}{2}\sum_{m=0}^{3}\delta!\bigl(\omega-\tfrac{\pi m}{2}\bigr),. $$

Passo 3

Agora a DTFT da saída y[n]=cosl(tfrac5pi2n+tfracpi4r).
Lembrando que
cos(omega0 n+phi)=tfrac12e^jphie^jomega0n+tfrac12e^-jphie^-jomega0n
e que a DTFT de e^jomega0n é 2pisumkde, a gente conclui que
$$Y(e^{j\omega})
=\pi,e^{j\pi/4},\delta\bigl(\omega-\tfrac{5\pi}{2}\bigr)
+\pi,e^{-j\pi/4},\delta\bigl(\omega+\tfrac{5\pi}{2}\bigr),. Y(e^jomega) =pi,e^jpi/4,deéóçãY(e^{j\omega})
=\pi,e^{j\pi/4},\delta\bigl(\omega-\tfrac{\pi}{2}\bigr)
+\pi,e^{-j\pi/4},\delta\bigl(\omega+\tfrac{\pi}{2}\bigr),. $$

Passo 4

Agora usamos a relação Y(e^jomega)=H(e^jomega),X(e^jomega).
  • X(e^jomega) tem impulsos em omega=0,tfracpi2,pi,tfrac3pi2.
  • Y(e^jomega) só tem impulsos em omega=pmtfracpi2.
Logo, nos pontos onde X tem impulso mas Y não tem, a única maneira de anular o produto é H=0. Isso dá:
Hl(e^j0r)=0, Hl(e^jpir)=0
Nos pontos omega=tfracpi2 e omega=3pi/2equiv -tfracpi2, fazemos:
Para omega=tfracpi2 (que é k=1):
pi2,Hl(e^jpi/2r) ;Long<=ftrightarrow; pi,e^jpi/4 Longrightarrow Hl(e^jpi/2r) =pi,e^jpi/4pi/2 =2,e^jpi/4,
Para omega=3pi/2 (que módulo 2pi é -tfracpi2, corresponde a k=3):
pi2,Hl(e^j3pi/2r) ;Long<=ftrightarrow; pi,e^-jpi/4 Longrightarrow Hl(e^j3pi/2r) =pi,e^-jpi/4pi/2 =2,e^-jpi/4,

Resposta

Portanto, para k=0,1,2,3 temos
Hl(e^jcdot 0r)&=0, Hl(e^jpi/2r)&=2,e^jpi/4, Hl(e^jpir)&=0, Hl(e^j3pi/2r)&=2,e^-jpi/4

Exercícios relacionados