Quando um trem de impulsos
é a entrada para um sistema linear invariante no tempo cuja resposta em frequência é
. A saída do sistema para a referida entrada é
Determine os valores de
para
e 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um sistema LTI (linear e invariante no tempo) com resposta em frequência
. A entrada é um trem de impulsos
e a saída resultante é
O que precisamos encontrar são os valores de
para
.
Para isso, vamos usar:
Para isso, vamos usar:
- a Transformada Discreta de Fourier (DTFT) de um trem de impulsos periódico;
- a DTFT de um cosseno;
- a propriedade fundamental de sistemas LTI, que diz
.
Passo 2
Primeiro, a DTFT do trem de impulsos
.
Sabemos que, para um trem de período
Sabemos que, para um trem de período
Aqui
$$X(e{j\omega})=\frac{2\pi}{4}\sum_{m=0}{3}\delta!\bigl(\omega-\tfrac{\pi m}{2}\bigr)
=\frac{\pi}{2}\sum_{m=0}^{3}\delta!\bigl(\omega-\tfrac{\pi m}{2}\bigr),. $$
Passo 3
Agora a DTFT da saída
.
Lembrando que
Lembrando que
e que a DTFT de
$$Y(e^{j\omega})
=\pi,e^{j\pi/4},\delta\bigl(\omega-\tfrac{5\pi}{2}\bigr)
+\pi,e^{-j\pi/4},\delta\bigl(\omega+\tfrac{5\pi}{2}\bigr),.
Y(e^{j\omega})
=\pi,e^{j\pi/4},\delta\bigl(\omega-\tfrac{\pi}{2}\bigr)
+\pi,e^{-j\pi/4},\delta\bigl(\omega+\tfrac{\pi}{2}\bigr),. $$
Passo 4
Agora usamos a relação
.
-
tem impulsos em . -
só tem impulsos em .
Logo, nos pontos onde
tem impulso mas
não tem, a única maneira de anular o produto é
. Isso dá:
Nos pontos
e
, fazemos:
Para (que é
):
Para
Para
(que módulo
é
, corresponde a
):
Resposta
Portanto, para
temos