Determine o valor das integrais
f) integral-infty^+infty t e^-|t| sen(2 t) d t

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente achar
Isso envolve integral imprópria, funções pares e ímpares, e uma técnica de integrais envolvendo exponencial e seno. A gente vai precisar:
  • Reconhecer se o integrando é par ou ímpar pra simplificar o intervalo.
  • Saber calcular integral-infty^+infty t,e^-|t|,sen(2t),dt (ou derivar a partir de ).

Passo 2

Primeiro, olha o integrando .
  • integral-infty^+infty f(t),dt =2integral0^infty f(t),dt =2integral0^infty t,e^-t,sen(2t),dt é ímpar: troca de sinal.
  • também é ímpar.
  • é par.
    Ímpar × ímpar = par, e par × par = par. Então é função par. Isso significa

Passo 3

Agora precisamos achar
Uma dica clássica é usar a integral
I=integral0^infty t,e^-t,sen(2t),dt
válida para J(a)=integral0^infty e^-a tsin(bt),dt=ba^2+b^2, . Note que
ddaJ(a) =ddal(ba^2+b^2r) =-integral0^infty t,e^-a t,sin(bt),dt
Ou seja,
integral0^infty t,e^-a t,sin(bt),dt =-J'(a)

Passo 4

No nosso caso J(a)=2a^2+4 ;Rightarrow; J'(a)=-4a(a^2+4)^2 e I=integral0^infty t,e^-t,sen(2t),dt =-J'(1) =4cdot1(1^2+4)^2 =425 . Então
integral-infty^infty t,e^-|t|,sen(2t),dt =2cdot425 =825
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Como a integral original é , temos

Resposta

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