Determine x[n] cujas transformadas Fourier são dadas por
b) X(e^j omega)=ll1, & |omega| <= W 0, & W<|omega| <= pi, sendo X(e^j omega)=X(e^j(omega+2 pi)) e escreva o resultado usando sinc(theta)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a sequência Xl(e^jomegar)= 1, & |omega|<= W, 0, & W<|omega|<= pi, cuja Transformada de Fourier discreta (DTFT) é
sabendo que .
Isso é teoria de DTFT e vamos precisar da fórmula de inversão da DTFT e de umas identidades de integrais com exponenciais pra resolver.

Passo 2

A fórmula de inversão da DTFT diz que
x[n] =12piintegral-pi^piXl(e^jomegar),e^jomega n,domega
Como x[n] =12piintegral-W^We^jomega n,domega só no intervalo e vale zero no resto, a gente reduz a integral a

Passo 3

Agora a gente calcula aquela integral. Lembra que
integral e^jomega n,domega =e^jomega nj n
Aplicando de integral-W^We^jomega n,domega =e^jomega nj n|-W^W =e^jW n-e^-jW nj n a integral-W^We^jomega n,domega =2jsin(W n)j n =2sin(W n)n :
x[n] =12pi,2sin(W n)n =sin(W n)pi,n
E usando a identidade , fica
Então

Passo 4

Pra deixar bonitinho usando a função sinc, a gente define
sinc(theta)=sin(theta)theta
Então a expressão vira
x[n] =sin(W n)pi n =Wpi,sin(W n)W n =Wpi,sinc(W n)
Não esquece que no caso a gente toma o limite e acha .

Resposta

boxed x[n] =sin(W n)pi n ;=;Wpi,sinc(W n)

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