Determine |x[0]|^2+|x[1]|^2+|x[2]|^2 para o sinal discreto periódico de período N=3 cujos coeficientes da série exponencial de Fourier são dados por ck=1+cos (k 2 pi / 3).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular
|x[0]|² + |x[1]|² + |x[2]|²
onde x[n] é um sinal discreto PERIÓDICO de período N=3 e os coeficientes da Série Exponencial de Fourier são
ck = 1 + cosl(k,2pi/3r)
Conteúdo envolvido: Série Exponencial de Fourier discreta e Teorema de Parseval.
O que vamos usar:
  • A definição dos coeficientes .
  • O Teorema de Parseval para sinais periódicos discretos, que relaciona energia no tempo com soma dos quadrados dos coeficientes.

Passo 2

Teorema de Parseval (versão discreta periódica) diz:
sumn=0^N-1 |x[n]|^2 ;=; N sumk=0^N-1 |ck|^2
Ou seja, em vez de calcular x[n] explicitamente, a gente acha e multiplica por N=3.

Passo 3

Vamos achar cada cosl(0l)=1, cosl(2pi/3r)=-tfrac12, cosl(4pi/3r)=-tfrac12 para c0 = 1 + cos(0) = 1 + 1 = 2, .
Lembre que
c1 = 1 + cos(2pi/3) = 1 - tfrac12 = tfrac12,
Então:
c2 = 1 + cos(4pi/3) = 1 - tfrac12 = tfrac12

Passo 4

Agora somamos os quadrados dos módulos:
|c0|^2 = 2^2 = 4, |c1|^2 = l(tfrac12r)^2 = tfrac14, |c2|^2 = l(tfrac12r)^2 = tfrac14
Logo
sumk=0^2 |ck|^2 = 4 + tfrac14 + tfrac14 = 4 + tfrac12 = tfrac92

Passo 5

Aplicando Parseval:
sumn=0^2 |x[n]|^2 = N ;sumk=0^2 |ck|^2 = 3 times tfrac92 = tfrac272

Resposta

boxed;|x[0]|^2+|x[1]|^2+|x[2]|^2 ;=;tfrac272;

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