Determine a Transformada Z e a correspondente região de convergência para os sinais a seguir:
f) x[n]=sen(pi8 n-pi4) u[n-2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de Análise de Sinais, mais especificamente de Transformada Z. O enunciado pede para encontrarmos
  1. A Transformada Z de x[n] = sin!l(tfracpi8n - tfracpi4r),u[n-2]
  2. A região de convergência (ROC) correspondente.
    Para isso, vamos usar:
  • A definição de Transformada Z: X(z) = sumn=-infty^infty x[n],z^-n
  • A técnica de representar o seno em termos de exponenciais complexas: sin(alpha) = e^jalpha-e^-jalpha2j
  • A soma de série geométrica sumn=N^infty a^n = a^N1-a, |a|<1
  • E lembrar que o faz a soma “começar” em .

Passo 2

Primeiro, escrevemos o seno como diferença de exponenciais:
sin!l(tfracpi8n - tfracpi4r) =e^,j(pi8n-pi4)-e^-j(pi8n-pi4)2j =e^-jpi4,e^jpi8n;-;e^+jpi4,e^-jpi8n2j
Então a Transformada Z vira
X(z) =sumn=2^infty e^-jpi4,e^jpi8n-e^+jpi4,e^-jpi8n2j;z^-n

Passo 3

Separamos em duas somas geométricas:
X(z) =12jl[ e^-jpi4sumn=2^infty(e^jpi8,z^-1)^n ;-; e^+jpi4sumn=2^infty(e^-jpi8,z^-1)^n r]
Cada série é a1 = e^jpi8,z^-1, a2 = e^-jpi8,z^-1, , com
sumn=2^infty(e^jpi8,z^-1)^n =(e^jpi8,z^-1)^21-e^jpi8,z^-1 =e^jpi4,z^-21-e^jpi8,z^-1,
e precisa valer sumn=2^infty(e^-jpi8,z^-1)^n =e^-jpi4,z^-21-e^-jpi8,z^-1 e , o que dá .
Logo,

Passo 4

Substituindo de volta em X(z) &=12jl[ e^-jpi4;e^jpi4,z^-21-e^jpi8z^-1 -;e^+jpi4;e^-jpi4,z^-21-e^-jpi8z^-1 r][6pt] &=z^-22jl[11-e^jpi8z^-1 -11-e^-jpi8z^-1r] :
e^jpi8z^-1-e^-jpi8z^-1 =2jsin!l(tfracpi8r)z^-1,
No numerador da diferença de frações aparece
(1-e^jpi8z^-1)(1-e^-jpi8z^-1) =1-2cos!l(tfracpi8r)z^-1+z^-2
e o denominador conjunto é
X(z) =z^-22j;2j,sin(tfracpi8),z^-1 1-2cos(tfracpi8)z^-1+z^-2 =sinl(tfracpi8r),z^-3 1-2cosl(tfracpi8r)z^-1+z^-2
Assim fica

Resposta

Transformada Z:
boxed X(z) =sin!l(tfracpi8r),z^-3 1 ;-;2cos!l(tfracpi8r),z^-1 ;+;z^-2
Região de convergência:
boxedROC: |z|>1

Exercícios relacionados