Determine a Transformada Z inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
c) X(z)=-2.5 z(z-0.5)(z+2),|z|>2

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a transformada Z
X(z)=-2.5,z(z-0.5)(z+2), com ROC |z|>2
O assunto é Transformada Z e Região de Convergência. Para resolver, vamos precisar de:
1) Entender que ROC indica sequência causal;
2) Fazer frações parciais em ;
3) Usar as tabelas básicas de inversão, em especial
- ,
- e saber inverter via série em .

Passo 2

Primeiro, identificamos os polos de :
A ROC fica fora do maior polo ( ). Isso é sinal de sequência causal (só existe para , aqui vai acabar começando em , como vamos ver).

Passo 3

Vamos escrever -2.5,z(z-0.5)(z+2) ;=;Az-0.5+Bz+2 em frações parciais:
A=-2.5,zz+2|z=0.5 =-2.5cdot0.50.5+2 =-1.252.5 =-0.5
Multiplicando pelos denominadores e avaliando nos polos:
  • Para B=-2.5,zz-0.5|z=-2 =-2.5cdot(-2)-2-0.5 =5-2.5 =-2 : X(z)=-0.5z-0.5+-2z+2
  • Para :
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Passo 4

Agora vem a parte de inverter cada termo. A gente lembra que
1z-a =;z^-1,11-a,z^-1 =;z^-1sumk=0^infty(a,z^-1)^k =sumk=0^infty a^k,z^-(k+1)
Isso equivale a uma sequência que vale para (e zero em ).
  • O termo gera .
  • O termo gera .

Passo 5

Basta somar os dois resultados (lembra que x[n] =l[-0.5,(0.5)^n-1-2,(-2)^n-1r];u[n-1] é a função que “liga” em ):

Resposta

A inversa é
boxedx[n]=l(-0.5,(0.5)^n-1-2,(-2)^n-1r),u[n-1]

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