Determine a Transformada
inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
i)
i)
Passo 1
Beleza, o que tá rolando aqui é: a gente tem uma função em
,
e o objetivo é achar a sequência
cuja Transformada Z é essa
.
Então o conteúdo que vamos usar é:
Então o conteúdo que vamos usar é:
- Divisão polinomial para separar parte “não–própria”.
- Frações parciais pra tornar a parte própria fácil de expandir.
- Série em potências de
– lembrando que pra ROC a gente usa expansões em . - Propriedades básicas da Z-transformada (delta de tempo, deslocamento, etc.).
Passo 2
Primeiro a gente faz divisão de polinômios para escrever
Isso é dividir
por
.
Agora a parte que sobrou é a fração própria .
Agora a parte que sobrou é a fração própria
Passo 3
A gente fatora o denominador e resolve em frações parciais:
e supõe
Multiplicando em cima dá
Igualando coeficientes:
→ resolvendo, achamos
e
.
Então
Então
Passo 4
Pra ROC
a gente usa a expansão
Aplicando em cada termo:
Aplicando em cada termo:
-
corresponde a (pois ). -
é . -
dá quando . -
para .
Passo 5
Agora a gente junta tudo, lembrando que só aparecem termos em
para
:
- Para
, não tem nada → . - Em
, só o termo dá 1 → . - Em
, só o contribui → . - Em
, não entram mais deltas, só as séries: