Determine a Transformada Z inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
i) X(z)=z^3+z^2+32 z+12z^2+32 z+12,|z|>1

Passo 1

Beleza, o que tá rolando aqui é: a gente tem uma função em X(z)=z^3+z^2+tfrac32 z+tfrac12z^2+tfrac32 z+tfrac12, com região de convergência |z|>1, ,
ãê
e o objetivo é achar a sequência cuja Transformada Z é essa .
Então o conteúdo que vamos usar é:
  1. Divisão polinomial para separar parte “não–própria”.
  2. Frações parciais pra tornar a parte própria fácil de expandir.
  3. Série em potências de – lembrando que pra ROC a gente usa expansões em .
  4. Propriedades básicas da Z-transformada (delta de tempo, deslocamento, etc.).

Passo 2

Primeiro a gente faz divisão de polinômios para escrever
X(z) =z^3+z^2+tfrac32z+tfrac12z^2+tfrac32z+tfrac12 = z ;-;tfrac12;+;tfrac74,z+tfrac34z^2+tfrac32z+tfrac12
Isso é dividir por .
Agora a parte que sobrou é a fração própria .

Passo 3

A gente fatora o denominador e resolve em frações parciais:
z^2+tfrac32z+tfrac12=(z+1)(z+tfrac12),
e supõe
tfrac74z+tfrac34(z+1)(z+tfrac12) =Az+1+Bz+tfrac12
Multiplicando em cima dá
tfrac74z+tfrac34 = A,(z+tfrac12)+B,(z+1) =(A+B),z + l(tfrac A2 + Br)
Igualando coeficientes:
A+B=tfrac74, tfrac A2 + B=tfrac34 \
→ resolvendo, achamos X(z)=z - tfrac12 ;+;2z+1;-;1/4z+tfrac12 e .
Então

Passo 4

Pra ROC a gente usa a expansão

Aplicando em cada termo:
  1. corresponde a (pois ).
  2. é .
  3. quando .
  4. para .

Passo 5

Agora a gente junta tudo, lembrando que só aparecem termos em x[n] =2(-1)^,n-1 ;-;tfrac14l(-tfrac12r)^,n-1 para :
  • Para , não tem nada → .
  • Em , só o termo dá 1 → .
  • Em , só o contribui → .
  • Em , não entram mais deltas, só as séries:

Resposta

x[n]= 0, & n< -1,[6pt] 1, & n=-1,[6pt] -tfrac12, & n=0,[6pt] 2(-1)^,n-1-tfrac14l(-tfrac12r)^,n-1, & n>=1, ROC: |z|>1

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