Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
g) x(t)=cos (3 t) u(-t) * e^-t u(t)

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a função
x(t) = cos(3t)·u(–t) * e^(–t)·u(t)
onde “*” é convolução temporal e u(t) é o degrau unitário. O conteúdo é a Transformada de Laplace bilateral e a propriedade de convolução (que vira multiplicação no domínio de s). Para resolver, vamos:
  1. achar a Laplace de cos(3t)u(–t) (lado esquerdo);
  2. achar a Laplace de e^(–t)u(t) (lado direito);
  3. multiplicar essas duas expressões e determinar a Região de Convergência (ROC) comum.

Passo 2

Transformada de Laplace bilateral de x₁(t)=cos(3t)·u(–t).
Por definição
X₁(s)=∫_{–∞}^∞ cos(3t)·u(–t)·e^(–s t) dt
=∫_{–∞}^0 cos(3t)e^(–s t) dt.
Para facilitar, fazemos t=–τ ⇒ dt=–dτ, e quando t vai de –∞ a 0, τ vai de +∞ a 0:
X₁(s)=∫_{τ=+∞}^0 cos(–3τ)e^(–s·(–τ)) (–dτ)
=∫_{0}^{∞} cos(3τ)e^(sτ) dτ.
Isso é a Laplace “normal” de cos(3τ) mas com p=–s:
∫_0^∞ e^(pτ)cos(3τ)dτ = p/(p^2+9), Re§<0.
Aqui p= s ⇒ X₁(s)= s/(s^2+9) só que, comparando sinais, fica
X₁(s)= –s/(s^2+9), ROC: Re(s)<0.

Passo 3

Transformada de Laplace bilateral de x₂(t)=e^(–t)·u(t).
Por definição (agora de 0 a ∞):
X₂(s)=∫_0^∞ e(–t)·e(–s t) dt = ∫_0^∞ e^(–(s+1)t) dt
= 1/(s+1), ROC: Re(s)>–1.

Passo 4

Pela propriedade da Transformada, a convolução no tempo vira produto em s:
X(s)=X₁(s)·X₂(s)= [–s/(s^2+9)]·[1/(s+1)]
= –s/[(s+1)(s^2+9)].
A ROC é a interseção das duas: Re(s)<0 ∩ Re(s)>–1 ⇒ –1 < Re(s) < 0.

Resposta

X(s) = –s / [(s+1)(s^2+9)],
ROC: –1 < Re(s) < 0.

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