Determine a Transformada Z inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
d) X(z)=-2.5 z(z-0.5)(z+2),|z|<0.5

Passo 1

Beleza, então o exercício tá pedindo pra gente achar a sequência X(z)=-2.5,z(z-0.5)(z+2) cuja Transformada-Z inversa é
com Região de Convergência (ROC) .
Conteúdo envolvido: Transformada-Z inversa, ROC e séries de potências (expansão em séries). Vamos usar decomposição em frações parciais e depois expandir cada termo de acordo com o ROC (que, por ser , gera uma sequência “anti‐causal”, ou seja, suporte para ).

Passo 2

Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais:
-2.5,z(z-0.5)(z+2) =Az-0.5+Bz+2
Multiplicando tudo pelo denominador -2.5,z = A,(z+2)+B,(z-0.5) , obtemos
A+B = -2.5, 2A - 0.5,B = 0
Comparando coeficientes de A+4A=-2.5Rightarrow A=-0.5, B=4(-0.5)=-2 e termo constante:
X(z)=-tfrac0.5,z-0.5,;-;tfrac2,z+2,
Da segunda equação . Substituindo na primeira:
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Passo 3

Agora a parte de teoria:
  • Para ROC do tipo 1z-a=-1a,11- za ;=; -1asumk=0^inftyl( zar)^k, (anti‐causal), usamos a expansão -0.5,z-0.5, = -0.5l(-10.5sumk=0^infty(tfrac z0.5)^kr) =sumk=0^infty0.50.5^k+1,z^k =sumk=0^infty 2^k,z^k que converge se x[-k]=2^k Longrightarrow x[n]=2^-n,; n<=0 , ou seja -2,z+2, = -2l(-1-2sumk=0^infty(tfrac z-2)^kr) =sumk=0^infty2(-2)^k+1,z^k =sumk=0^infty(-1)^k+12^k,z^k .
  • Cada potência x[n]=(-1)^,1-n2^-n = -(-1)^n,2^n, n<=0 nessa expansão corresponde a , pois na Transformada-Z temos
    .
Vamos aplicar isso a cada termo:
  1. Para , aqui e o fator “-0.5” fora:
    Isso diz que, para , o coeficiente em é , ou seja
  2. Para , aqui e o fator “-2” fora:
    Ou seja, para , , que dá

Passo 4

Agora somamos as duas partes (e lembramos que para x[n] =2^-n;+;l(-(-1)^n,2^nr) =2^-n-(-1)^n,2^n a ROC dita que não tem termos, ou seja x[n]=0 para ):
Para :
Para :

Resposta

A sequência inversa é
boxed x[n]= 2^-n-(-1)^n,2^n, & n<=0, 0, & n>0

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