Determine a Transformada inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
d)
Passo 1
Beleza, então o exercício tá pedindo pra gente achar a sequência cuja Transformada-Z inversa é
com Região de Convergência (ROC) .
Conteúdo envolvido: Transformada-Z inversa, ROC e séries de potências (expansão em séries). Vamos usar decomposição em frações parciais e depois expandir cada termo de acordo com o ROC (que, por ser , gera uma sequência “anti‐causal”, ou seja, suporte para ).
Passo 2
Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando tudo pelo denominador , obtemos
Comparando coeficientes de e termo constante:
Da segunda equação . Substituindo na primeira:
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Passo 3
Agora a parte de teoria:
Para ROC do tipo (anti‐causal), usamos a expansãoque converge se , ou seja -2,z+2, = -2l(-1-2sumk=0^infty(tfrac z-2)^kr) =sumk=0^infty2(-2)^k+1,z^k =sumk=0^infty(-1)^k+12^k,z^k .
Cada potência x[n]=(-1)^,1-n2^-n = -(-1)^n,2^n, n<=0 nessa expansão corresponde a , pois na Transformada-Z temos .
Vamos aplicar isso a cada termo:
Para , aqui e o fator “-0.5” fora:
Isso diz que, para , o coeficiente em é , ou seja
Para , aqui e o fator “-2” fora:
Ou seja, para , , que dá
Passo 4
Agora somamos as duas partes (e lembramos que para x[n] =2^-n;+;l(-(-1)^n,2^nr) =2^-n-(-1)^n,2^n a ROC dita que não tem termos, ou seja x[n]=0 para ):