Determine o valor das integrais
a) integral0^+infty t^2 e^-3 t cos (2 t) u(t) d t

Passo 1

Então, o exercício pede para calcular a integral
integral0^+infty t^2 e^-3tcos(2t),u(t),dt
Isso faz parte da matéria de Transformada de Laplace e das propriedades de derivação em relação a .
Para resolver, vamos usar:
  1. A definição da Transformada de Laplace
  2. A propriedade “multiplicação por ” que vira derivada em .

Passo 2

Lembra que a Transformada de Laplace de uma função Lf(t)(s)=integral0^infty e^-stf(t),dt é
F(s)=Lcos(2t)(s),
Aqui reconhecemos nossa integral como integral0^infty t^2 e^-stcos(2t),dt =d^2ds^2F(s) avaliada em .
Então, se definirmos
sabemos que

Passo 3

Vamos achar primeiro F(s)=integral0^infty e^-stcos(2t),dt =ss^2+2^2 =ss^2+4 .
Pela tabela ou pela definição:

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de derivação:
Lt^2cos(2t)(s) =d^2ds^2l(ss^2+4r)
Vamos derivar passo a passo:
  1. Derivada primeira:
F'(s) =ddsl(ss^2+4r) =(s^2+4)cdot1 - scdot2s(s^2+4)^2 =4 - s^2(s^2+4)^2
  1. Derivada segunda:
F''(s) =ddsl(4 - s^2(s^2+4)^2r)
Usando a regra do quociente e simplificando dá
F''(s) =2sl(s^2-3cdot2^2r)(s^2+4)^3 =2s(s^2-12)(s^2+4)^3

Passo 5

Tudo que queremos é essa expressão em F''(3) =2cdot3l(3^2-12r)(3^2+4)^3 =6,(9-12)(9+4)^3 =6cdot(-3)13^3 =-182197 . Então substituímos:

Resposta

boxedintegral0^infty t^2e^-3tcos(2t),dt = -182197

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