Determine o valor das integrais
a)
a)
Passo 1
Então, o exercício pede para calcular a integral
Isso faz parte da matéria de Transformada de Laplace e das propriedades de derivação em relação a
.
Para resolver, vamos usar:
Para resolver, vamos usar:
- A definição da Transformada de Laplace
- A propriedade “multiplicação por
” que vira derivada em .
Passo 2
Lembra que a Transformada de Laplace de uma função
é
Aqui reconhecemos nossa integral como
avaliada em
.
Então, se definirmos
Então, se definirmos
sabemos que
Passo 3
Vamos achar primeiro
.
Pela tabela ou pela definição:
Pela tabela ou pela definição:
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade de derivação:
Vamos derivar passo a passo:
- Derivada primeira:
- Derivada segunda:
Usando a regra do quociente e simplificando dá
Passo 5
Tudo que queremos é essa expressão em
. Então substituímos: