Determine a Transformada Z inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
h) X(z)=z^3+z^2+32 z+12z^3+32 z^2+12 z,|z|<0.5

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Calcular a transformada Z inversa de
X(z)=z^3+z^2+tfrac32,z+tfrac12z^3+tfrac32,z^2+tfrac12,z, com ROC |z|<0.5
Isso é parte de Transformada Z e precisamos:
  1. fazer divisão polinomial (porque grau do numerador = grau do denominador),
  2. usar frações parciais para escrever como soma de termos simples,
  3. lembrar que ROC “|z|<0.5” indica sequência left‐sided (suporta para ),
  4. inverter cada termo para achar .

Passo 2

Primeiro, dividimos numerador por denominador:
z^3+z^2+tfrac32z+tfrac12 z^3+tfrac32z^2+tfrac12z =1;+; (z^3+z^2+tfrac32z+tfrac12) -(z^3+tfrac32z^2+tfrac12z) z(z+1)(z+0.5)
No detalhezinho:
  • multiplico X(z)=1;+; -0.5,z^2+1,z+0.5z,(z+1),(z+0.5) ,
  • subtraio do numerador e sobra .
    Então

Passo 3

Agora fazemos frações parciais no resto:
-0.5z^2+z+0.5z(z+1)(z+0.5) =Az+Bz+1+Cz+0.5
Igualando numeradores:
A(z+1)(z+0.5)+B,z(z+0.5)+C,z(z+1) =-0.5z^2+z+0.5
Resolvendo dá
A=1, B=-2, C=0.5
Logo
X(z) =1 ;+;1z ;-; 2z+1 ;+;0.5z+0.5

Passo 4

Vamos inverter cada pedacinho, lembrando que ROC 1z+1=11+z=suml=0^infty(-1)^l z^l Longrightarrow -2suml=0^infty(-1)^l z^l pede expansão em potências de x3[n] = -2(-1)^l, n=-l<=0 Longrightarrow x3[n]=-2(-1)^n,u[-n] (série em 0.5z+0.5 =11+2z =suml=0^infty(-2z)^l Longrightarrow x4[n]=(-2)^l,;n=-l<=0 ;=;(-2)^-nu[-n] ), o que gera sequência supportada para x[n] =de:
  1. em .
  2. .
  3. . Note que Aqui corresponde a . Então
  4. . Escrevo
Somando tudo:

Resposta

boxed x[n] = de=0,[6pt] -2(-1)^n+(-2)^-n,&n<= -1,[3pt] 0,&outros n ,
com indicando suporte para .

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