Determine a Transformada Z inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
b) X(z)=2 z(z-1)(z+1),|z|<1

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente achar a transformada Z inversa de
X(z)=2z(z-1)(z+1), com ROC |z|<1
Isso faz parte de transformada Z (sinais discreto-temporais) e, como o ROC é |z|<1, a sequência no tempo vai ser left-sided (isto é, definida para índices negativos). Para resolver, a gente vai usar dois truques principais:
  1. decompor em frações parciais;
  2. lembrar os pares padrões de Z e Z⁻¹ para sinais left-sided.

Passo 2

Primeiro, bora fazer frações parciais em 2z(z-1)(z+1) =zz-1+zz+1 . Note que
X(z)=2 + 1z-1 + 1z+1
Isso fica fácil se a gente dividir cada termo:
  • ,

  • Então

Passo 3

Agora cada pedaço traduz pra domínio do tempo. Lembrando que para um sinal left-sided u[-n-1] (que va<= 1 para n<=-1), , vale:
  1. (-1)^-n-1,u[-n-1] =(-1)^n+1,u[-n-1] em corresponde a .
  2. com ROC é a transformada de pois se provarmos a série, dá , que encaixa em left-sided.
  3. com a mesma ROC é a transformada de

Resposta

Juntando tudo, a sequência no tempo é
boxed x[n] =2,de

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