A sequência x[n] tem transformada Z dada por
X(z)=9(z-0.5)^2(z+0.5)^3, |z|>0.5
Determine:
c) sumk=-infty^+infty x[k]

Passo 1

Beleza, olha só o que temos: a sequência X(z)=9(z-0.5)^2(z+0.5)^3, tem transformada
sumk=-infty^+inftyx[k]
com região de convergência . O que queremos é
Isso faz parte da teoria da Transformada , e a gente vai usar a propriedade que diz que, se a região de convergência inclui , então a soma de toda a sequência (de a ) vale .

Passo 2

Primeiro, olha a ROC: sumk=-infty^+inftyx[k] = sumk=0^+inftyx[k] . Isso significa que a sequência é causal (ou seja, para ) – pra sequência direita-limitada, a ROC fica “lá fora”, englobando o infinito.
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Passo 3

Agora vem a propriedade da Transformada sumk=0^inftyx[k] ;=; X(1) :
Se converge e está na ROC, então
Como nossa ROC é , está tranquilo lá dentro.

Passo 4

Basta, então, substituir X(z)=9(z-0.5)^2(z+0.5)^3 Longrightarrow X(1)=9(1-0.5)^2,(1+0.5)^3 em

Passo 5

Calculemos o denominador:
(1-0.5)^2 = 0.5^2 = 0.25, (1+0.5)^3 = 1.5^3 = 3.375,
então
X(1)=90.25cdot 3.375 =90.84375 =323

Resposta

sumk=-infty^+inftyx[k] ;=; 323

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