Determine a Transformada Z e a correspondente região de convergência para os sinais a seguir:
e) x[n]=2^n sen^2(3 n) u[n]

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra gente achar a Transformada Z de
x[n] = 2^n ,sin^2(3n),u[n]
e também a respectiva Região de Convergência (ROC).
Conteúdo: Transformada Z de sinais causais, soma de séries geométricas, identidade de trigonometria e uso de séries de exponenciais complexas.
O que vamos precisar:
  • A identidade .
  • A soma da série geométrica (quando ).
  • A Transformada Z de .

Passo 2

Primeiro, usamos a identidade de trigonometria pra simplificar o sin^2(3n) ;=;12l(1 - cos(6n)r) :
x[n] = 2^n,sin^2(3n),u[n] = 2^n;1-cos(6n)2;u[n] = 12,2^n u[n];-;12,2^ncos(6n),u[n]
Então

Passo 3

A Transformada Z X(z) = 12sumn=0^infty 2^n z^-n ;-;12sumn=0^infty 2^ncos(6n),z^-n se divide em duas partes:

Passo 4

  1. A primeira soma é fácil, é geométrica com razão sumn=0^infty 2^n z^-n = sumn=0^infty l(2z^-1r)^n = 11 - 2z^-1, ROC: |2z^-1|<1;Leftrightarrow;|z|>2 :
Então a contribuição é
.

Passo 5

  1. Na segunda soma, usamos que
    sumn=0^infty 2^ncos(6n),z^-n =12sumn=0^infty l(2e^j6,z^-1r)^n +12sumn=0^infty l(2e^-j6,z^-1r)^n .
    Logo
sumn=0^infty (2e^pm j6z^-1)^n = 11 - 2e^pm j6z^-1, (mesma ROC: |z|>2)
Cada uma é outra série geométrica:
sumn=0^infty 2^ncos(6n),z^-n = 12l[tfrac11-2e^j6z^-1 + tfrac11-2e^-j6z^-1r]
Portanto a segunda parte vale
E ainda tem o fator lá de cima.

Resposta

Juntando tudo:
boxed% X(z) = 12cdot11 - 2z^-1 ;-;12cdot12 l[11 - 2e^j6z^-1 +11 - 2e^-j6z^-1r] ,, ROC: |z|>2

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