Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=\frac{s^{2}+2 s+3}{\left(s^{2}+2 s+2\right)\left(s^{2}+2 s+5\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar f(t), ou seja, calcular a transformada inversa de Laplace de uma função racional.
  • Nos é dado:
F(s)=\frac{s^{2}+2 s+3}{\left(s^{2}+2 s+2\right)\left(s^{2}+2 s+5\right)}.
  • Objetivo final: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, para t\ge 0.

Passo 2

Plano de ataque (resumido e prático):
Para achar a transformada inversa de uma função racional como essa, o método direto e eficiente é decompor F(s) em frações parciais compatíveis com as transformadas inversas conhecidas (principalmente as formas \dfrac{s+a}{(s+a)^2+b^2} e \dfrac{b}{(s+a)^2+b^2}). Vou aplicar decomposição em frações parciais, completar quadrados quando necessário e usar as fórmulas padrões da transformada de Laplace inversa (vou explicar essas fórmulas quando chegar na aplicação).

Passo 3

Preparar a decomposição em frações parciais: como os fatores do denominador são quadráticos irreduzíveis (no conjunto dos reais), escrevemos a forma geral
F(s)=\frac{A s+B}{s^{2}+2 s+2}+\frac{C s+D}{s^{2}+2 s+5}.
Multiplicando ambos os lados por \left(s^{2}+2 s+2\right)\left(s^{2}+2 s+5\right) obtemos a identidade polinomial
s^{2}+2 s+3=(A s+B)\bigl(s^{2}+2 s+5\bigr)+(C s+D)\bigl(s^{2}+2 s+2\bigr).

Passo 4

Expandir os produtos do lado direito e igualar coeficientes (vou mostrar cada termo para não pular passos). Primeiro expandindo:
\begin{aligned} (A s+B)\bigl(s^{2}+2 s+5\bigr)&=A s^{3}+(2A+B)s^{2}+(5A+2B)s+5B,\\[4pt] (C s+D)\bigl(s^{2}+2 s+2\bigr)&=C s^{3}+(2C+D)s^{2}+(2C+2D)s+2D. \end{aligned}
Somando:
(A+C)s^{3}+(2A+B+2C+D)s^{2}+(5A+2B+2C+2D)s+(5B+2D).
Comparando com o polinômio do lado esquerdo s^{2}+2s+3 (que tem coeficiente zero para s^3), igualamos coeficientes termo a termo:
\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] 2A+B+2C+D=1,\\[4pt] 5A+2B+2C+2D=2,\\[4pt] 5B+2D=3. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema de coeficientes passo a passo. Da primeira equação C=-A. Substituindo nas demais:
\begin{aligned} &2A+B+2(-A)+D=1\quad\Rightarrow\quad B+D=1,\\[4pt] &5A+2B+2(-A)+2D=2\quad\Rightarrow\quad 3A+2B+2D=2,\\[4pt] &5B+2D=3. \end{aligned}
Da primeira dessas D=1-B. Substituindo em 5B+2D=3:
5B+2(1-B)=3 \quad\Rightarrow\quad 5B+2-2B=3 \quad\Rightarrow\quad 3B=1 \quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{3}.
Então D=1-B=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}. Agora usar 3A+2B+2D=2:
3A+2\!\left(\tfrac{1}{3}\right)+2\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=2 \quad\Rightarrow\quad 3A+\tfrac{2}{3}+\tfrac{4}{3}=2 \quad\Rightarrow\quad 3A+2=2 \quad\Rightarrow\quad 3A=0 \quad\Rightarrow\quad A=0.
Como C=-A, segue C=0.]

Passo 6

Concluir a decomposição parcial com os coeficientes encontrados:
F(s)=\frac{\tfrac{1}{3}}{s^{2}+2 s+2}+\frac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+2 s+5}.
Observação útil: os termos com s no numerador desapareceram ( A=C=0), o que facilita pois cada fração agora tem apenas uma constante no numerador.

Passo 7

Completar quadrados nos denominadores para reconhecer as formas padrão (mostrando cada passo):
s^{2}+2s+2=(s+1)^{2}+1, \qquad s^{2}+2s+5=(s+1)^{2}+4.
Portanto podemos reescrever
F(s)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+1}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+2^{2}}.

Passo 8

Lembrar (aula rápida e concreta) das fórmulas de transformada de Laplace inversa que vamos usar:
  • Para a>0,\\ b>0,
\mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Explicação prática: na forma \dfrac{b}{(s+a)^2+b^2} a transformada inversa é e^{-a t}\sin(bt). Se o numerador for uma constante \alpha, podemos reescrever \dfrac{\alpha}{(s+a)^2+b^2}=\dfrac{\alpha}{b}\cdot\dfrac{b}{(s+a)^2+b^2} e assim reconhecer a transformada inversa como \dfrac{\alpha}{b}e^{-a t}\sin(bt).

Passo 9

Aplicar a fórmula a cada termo:
  1. Para o primeiro termo temos a=1, b=1 e coeficiente \dfrac{1}{3}. Logo
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+1}\right\} =\frac{1}{3}\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}+1}\right\} =\frac{1}{3}\cdot e^{-t}\sin(t).
  1. Para o segundo termo temos a=1, b=2 e coeficiente \dfrac{2}{3}. Usando a ideia de dividir por b:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+2^{2}}\right\} =\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\,e^{-t}\sin(2t) =\frac{1}{3}\,e^{-t}\sin(2t).

Passo 10

Somando os dois resultados obtemos a função no tempo:
f(t)=\frac{1}{3}e^{-t}\sin(t)+\frac{1}{3}e^{-t}\sin(2t) =\frac{1}{3}e^{-t}\bigl(\sin t+\sin 2t\bigr),\qquad t\ge 0.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{3}e^{-t}\bigl(\sin t+\sin 2t\bigr)

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