Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo: F(s)=\frac{s^{2}+2 s+3}{\left(s^{2}+2 s+2\right)\left(s^{2}+2 s+5\right)}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede: determinar f(t), ou seja, calcular a transformada inversa de Laplace de uma função racional.
Objetivo final: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, para t\ge 0.
Passo 2
Plano de ataque (resumido e prático):
Para achar a transformada inversa de uma função racional como essa, o método direto e eficiente é decompor F(s) em frações parciais compatíveis com as transformadas inversas conhecidas (principalmente as formas \dfrac{s+a}{(s+a)^2+b^2} e \dfrac{b}{(s+a)^2+b^2}). Vou aplicar decomposição em frações parciais, completar quadrados quando necessário e usar as fórmulas padrões da transformada de Laplace inversa (vou explicar essas fórmulas quando chegar na aplicação).
Passo 3
Preparar a decomposição em frações parciais: como os fatores do denominador são quadráticos irreduzíveis (no conjunto dos reais), escrevemos a forma geral
Explicação prática: na forma \dfrac{b}{(s+a)^2+b^2} a transformada inversa é e^{-a t}\sin(bt). Se o numerador for uma constante \alpha, podemos reescrever \dfrac{\alpha}{(s+a)^2+b^2}=\dfrac{\alpha}{b}\cdot\dfrac{b}{(s+a)^2+b^2} e assim reconhecer a transformada inversa como \dfrac{\alpha}{b}e^{-a t}\sin(bt).
Passo 9
Aplicar a fórmula a cada termo:
Para o primeiro termo temos a=1, b=1 e coeficiente \dfrac{1}{3}. Logo