Exercício 4. Seja
definida por
. Determine a imagem de
. A função
é a mesma função que
? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e faz duas perguntas. Informações fornecidas:
- A função
é definida por e . - A função
é definida por e .
O que o enunciado pede:
- Determinar a imagem de
(isto é, o conjunto de valores que atinge). - Responder se
é a mesma função que e justificar a resposta.
Passo 2
O que significa “imagem” de uma função? Vou explicar direitinho sem pressa.
- Para uma função
, a imagem de (às vezes chamada de “contradomínio efetivo” ou simplesmente “alcance”) é o conjunto
ou seja, todos os valores em
que realmente aparecem como
para algum
em
.
- Importante: o contradomínio
e a imagem são coisas diferentes; a imagem é um subconjunto de .
Vamos aplicar essa definição ao nosso caso.
Passo 3
Mostrar que para todo
vale
.
- Seja
. Por definição do valor absoluto, e . - Como
para todo , segue que
Portanto, nenhum valor negativo pode aparecer como
. Assim temos
Passo 4
Mostrar que todo número não negativo é realmente atingido por
(ou seja,
).
- Tome um número arbitrário
com . - Defina
. Observação: está bem definida e é um número real não negativo porque . - Então
- Se
existe também tal que . Se então funciona. - Portanto, para todo
existe com , isto é,
Passo 5
Concluir a imagem de
.
- Das inclusões obtidas em Passo 3 e Passo 4 segue
- Em palavras:
toma exatamente todos os valores não negativos, nada negativo.
Passo 6
Agora responder se
é a mesma função que
. Primeiro explico claramente o critério de igualdade entre funções.
- Duas funções
e são iguais (escreve-se ) se, e somente se, três coisas acontecem simultaneamente: -
(mesmo domínio), -
(mesmo contradomínio), - para todo
em vale (mesma regra/mesmos valores ponto a ponto).
-
- No nosso caso:
- O domínio de
é e o domínio de também é : condição (1) está satisfeita. - Para todo
temos : condição (3) também está satisfeita. - O contradomínio de
é , enquanto o contradomínio de é : aqui , logo condição (2) falha.
- O domínio de
Passo 7
Interpretação final e observação extra (para fixar bem a ideia).
- Como o contradomínio faz parte da definição formal de função,
e não são a mesma função: eles têm a mesma regra e atingem os mesmos valores (têm o mesmo gráfico),
mas as funções diferem no contradomínio dado. Em muitos exercícios práticos isso é uma diferença sutil: às vezes se fala “a mesma lei de formação”, mas formalmente
e
são funções diferentes porque os conjuntos-alvo são diferentes.
- Resumindo: regra igual, gráfico igual, domínio igual, mas contradomínios diferentes ⇒ funções diferentes.
Resposta
Imagem de
:
não é a mesma função que
.