Exercício 4. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=x^{2}. Determine a imagem de f. A função
g: \mathbb{R} \rightarrow[0,+\infty), \quad g(x)=x^{2}
é a mesma função que f ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e faz duas perguntas. Informações fornecidas:
  • A função f é definida por f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} e f(x)=x^{2}.
  • A função g é definida por g: \mathbb{R}\to[0,+\infty) e g(x)=x^{2}.
O que o enunciado pede:
  1. Determinar a imagem de f (isto é, o conjunto de valores que f atinge).
  2. Responder se g é a mesma função que f e justificar a resposta.

Passo 2

O que significa “imagem” de uma função? Vou explicar direitinho sem pressa.
  • Para uma função h:A\to B, a imagem de h (às vezes chamada de “contradomínio efetivo” ou simplesmente “alcance”) é o conjunto
\operatorname{Im}(h)=\{\,h(x)\mid x\in A\,\},
ou seja, todos os valores em B que realmente aparecem como h(x) para algum x em A.
  • Importante: o contradomínio B e a imagem \operatorname{Im}(h) são coisas diferentes; a imagem é um subconjunto de B.
Vamos aplicar essa definição ao nosso caso.

Passo 3

Mostrar que para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}\ge 0.
  • Seja x\in\mathbb{R}. Por definição do valor absoluto, |x|\ge 0 e |x|^{2}=x^{2}.
  • Como |x|^{2}\ge 0 para todo x, segue que
x^{2}\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Portanto, nenhum valor negativo pode aparecer como f(x). Assim temos
\operatorname{Im}(f)\subseteq[0,+\infty).

Passo 4

Mostrar que todo número não negativo é realmente atingido por f (ou seja, [0,+\infty)\subseteq\operatorname{Im}(f)).
  • Tome um número arbitrário y com y\ge 0.
  • Defina x=\sqrt{y}. Observação: \sqrt{y} está bem definida e é um número real não negativo porque y\ge 0.
  • Então
f(x)=(\sqrt{y})^{2}=y.
  • Se y>0 existe também x=-\sqrt{y} tal que f(-\sqrt{y})=y. Se y=0 então x=0 funciona.
  • Portanto, para todo y\ge 0 existe x\in\mathbb{R} com f(x)=y, isto é,
[0,+\infty)\subseteq\operatorname{Im}(f).

Passo 5

Concluir a imagem de f.
  • Das inclusões obtidas em Passo 3 e Passo 4 segue
\operatorname{Im}(f)=[0,+\infty).
  • Em palavras: f(x)=x^{2} toma exatamente todos os valores não negativos, nada negativo.

Passo 6

Agora responder se g é a mesma função que f. Primeiro explico claramente o critério de igualdade entre funções.
  • Duas funções h_1:A_1\to B_1 e h_2:A_2\to B_2 são iguais (escreve-se h_1=h_2) se, e somente se, três coisas acontecem simultaneamente:
    1. A_1=A_2 (mesmo domínio),
    2. B_1=B_2 (mesmo contradomínio),
    3. para todo x em A_1 vale h_1(x)=h_2(x) (mesma regra/mesmos valores ponto a ponto).
  • No nosso caso:
    • O domínio de f é \mathbb{R} e o domínio de g também é \mathbb{R}: condição (1) está satisfeita.
    • Para todo x\in\mathbb{R} temos f(x)=x^{2}=g(x): condição (3) também está satisfeita.
    • O contradomínio de f é \mathbb{R}, enquanto o contradomínio de g é [0,+\infty): aqui \mathbb{R}\neq[0,+\infty), logo condição (2) falha.

Passo 7

Interpretação final e observação extra (para fixar bem a ideia).
  • Como o contradomínio faz parte da definição formal de função, f e g não são a mesma função: eles têm a mesma regra e atingem os mesmos valores (têm o mesmo gráfico),
\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\mid y=x^{2}\},
mas as funções diferem no contradomínio dado. Em muitos exercícios práticos isso é uma diferença sutil: às vezes se fala “a mesma lei de formação”, mas formalmente f e g são funções diferentes porque os conjuntos-alvo são diferentes.
  • Resumindo: regra igual, gráfico igual, domínio igual, mas contradomínios diferentes ⇒ funções diferentes.

Resposta

Imagem de f: [0,+\infty)
g não é a mesma função que f.

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