Determine
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função de Laplace
e pede
, ou seja, a transformada inversa de Laplace de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é uma função racional em . - O denominador fatoriza como
. - A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Estratégia: como
é racional com denomínio fatorado em polos simples e um polo duplo
, vamos fazer decomposição em frações parciais do tipo
Depois aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando linearidade. Relembre duas propriedades básicas da transformada de Laplace e suas inversas que vamos usar:
-
, logo . -
, logo .
Estas fórmulas valem parae na região de convergência apropriada. A transformada inversa é linear, então podemos inverter cada parcela separadamente e somar.
Passo 3
Fazendo a decomposição em frações parciais assumida:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 4
Vamos expandir os termos do lado direito e agrupar coeficientes em potências de
.
Expansões:
Expansões:
Somando:
Como o lado esquerdo é
, que não tem termo em
, igualamos coeficientes em cada potência de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Passo 5
Resolver o sistema para
.
Da primeira equação
temos
Substituindo em
:
Também da equação do coeficiente de
temos
. Substituindo esse
em
:
Então
Passo 6
Agora reescrevemos
com os coeficientes encontrados:
Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas lembradas no Passo 2:
-
. -
. -
.
Como há um sinal negativo no segundo termo, temos