Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=\frac{3 s+1}{(s-1)(s+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função de Laplace
F(s)=\frac{3s+1}{(s-1)(s+1)^{2}}
e pede f(t), ou seja, a transformada inversa de Laplace de F(s).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função F(s) é uma função racional em s.
  • O denominador fatoriza como (s-1)(s+1)^{2}.
  • A tarefa é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Estratégia: como F(s) é racional com denomínio fatorado em polos simples e um polo duplo (s+1)^{2}, vamos fazer decomposição em frações parciais do tipo
\frac{3s+1}{(s-1)(s+1)^{2}}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^{2}}.
Depois aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando linearidade. Relembre duas propriedades básicas da transformada de Laplace e suas inversas que vamos usar:
  • \displaystyle \mathcal{L}\{e^{a t}\}=\frac{1}{s-a}, logo \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{a t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}\{t e^{a t}\}=\frac{1}{(s-a)^{2}}, logo \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-a)^{2}}\right\}=t e^{a t}.
    Estas fórmulas valem para t\ge0 e s na região de convergência apropriada. A transformada inversa é linear, então podemos inverter cada parcela separadamente e somar.

Passo 3

Fazendo a decomposição em frações parciais assumida:
\frac{3s+1}{(s-1)(s+1)^{2}}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+1)^{2} obtemos a identidade polinomial
3s+1 = A(s+1)^{2} + B(s-1)(s+1) + C(s-1).

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito e agrupar coeficientes em potências de s.
Expansões:
A(s+1)^{2}=A(s^{2}+2s+1)=A s^{2}+2A s + A,
B(s-1)(s+1)=B(s^{2}-1)=B s^{2}-B,
C(s-1)=C s - C.
Somando:
A s^{2}+2A s + A + B s^{2}-B + C s - C = (A+B)s^{2} + (2A + C)s + (A - B - C).
Como o lado esquerdo é 3s+1, que não tem termo em s^{2}, igualamos coeficientes em cada potência de s:
  • Coeficiente de s^{2}: A + B = 0.
  • Coeficiente de s: 2A + C = 3.
  • Termo constante: A - B - C = 1.

Passo 5

Resolver o sistema para A,B,C.
Da primeira equação A+B=0 temos
B=-A.
Substituindo em A - B - C = 1:
A - (-A) - C = 1 \quad\Rightarrow\quad 2A - C = 1.
Também da equação do coeficiente de s temos C = 3 - 2A. Substituindo esse C em 2A - C = 1:
2A - (3 - 2A) = 1 \quad\Rightarrow\quad 2A -3 +2A = 1 \quad\Rightarrow\quad 4A = 4 \quad\Rightarrow\quad A = 1.
Então
B = -A = -1, \qquad C = 3 - 2A = 3 - 2 = 1.

Passo 6

Agora reescrevemos F(s) com os coeficientes encontrados:
F(s)=\frac{1}{s-1} - \frac{1}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^{2}}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas lembradas no Passo 2:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-1}\right\}=e^{t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\right\}=t e^{-t}.
Como há um sinal negativo no segundo termo, temos
f(t)=e^{t} - e^{-t} + t e^{-t},\qquad t\ge0.

Resposta

f(t)=e^{t}-e^{-t}+t e^{-t}

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