Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
d)
d)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente achar a transformada de Laplace de
e também as regiões de convergência.
Conteúdo: transformada de Laplace bilateral, propriedade de deslocamento no tempo e de convolução (no tempo vira produto no domínio
O que vamos precisar:
1. Definição da Laplace bilateral:
- Saber tratar sinais deslocados (uso de
e ). - Usar que a convolução em
equivale a multiplicar as transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar separadamente
e
2.1) X₁(s):
Definição:
Definição:
Como
$$X_1(s)=\int_{2}{\infty}e{-2(t-2)},e^{-s,t},dt
=\int_{2}{\infty}e{-2t+4};e^{-s,t},dt
=e{4}\int_{2}{\infty}e^{-(s+2)t},dt.
\int_{2}{\infty}e{-(s+2)t},dt
=\left[\frac{e{-(s+2)t}}{-(s+2)}\right]_{2}{\infty}
=\frac{e^{-(s+2),2}}{s+2}.
X_1(s)
=e{4},\frac{e{-2s-4}}{s+2}
=\frac{e^{-2s}}{s+2},\quad \Re(s)>-2.$$
2.2) X₂(s):
Reescreve o sinal:
Reescreve o sinal:
Aqui
$$X_2(s)=\int_{-\infty}{\infty}e{3(t-3)}u(3-t),e^{-s,t},dt
=\int_{-\infty}{3}e{3t-9},e^{-s,t},dt
=e{-9}\int_{-\infty}{3}e^{(3-s)t},dt.
\int_{-\infty}{3}e{(3-s)t},dt
=\left[\frac{e{(3-s)t}}{3-s}\right]_{-\infty}{3}
=\frac{e^{(3-s),3}}{3-s}.
X_2(s)
=e{-9},\frac{e{9-3s}}{3-s}
=\frac{e^{-3s}}{3-s},\quad \Re(s)>3.$$
Passo 3
Como estamos convoluindo
, a transformada é
A região de convergência é a interseção de
ou seja