Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
d) x(t)=e^-2(t-2) u(t-2) * e^-3(-t+3) u(-t+3)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar a transformada de Laplace de
x(t)=e^-2(t-2),u(t-2);*;e^-3(-t+3),u(-t+3)
e também as regiões de convergência.
Conteúdo: transformada de Laplace bilateral, propriedade de deslocamento no tempo e de convolução (no tempo vira produto no domínio s).
O que vamos precisar:
1. Definição da Laplace bilateral:
X(s)=integral-infty^inftyx(t),e^-s,t,dt
  1. Saber tratar sinais deslocados (uso de u(t-a) e u(a-t)).
  2. Usar que a convolução em t equivale a multiplicar as transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar separadamente
X1(s)=L,e^-2(t-2)u(t-2)
e
X2(s)=L,e^-3(-t+3)u(-t+3)
2.1) X₁(s):
Definição:
X1(s)=integral-infty^inftye^-2(t-2)u(t-2),e^-s,t,dt
Como u(t-2)=0 para t<2, o integral vira de 2 a +infty.
$$X_1(s)=\int_{2}{\infty}e{-2(t-2)},e^{-s,t},dt
=\int_{2}{\infty}e{-2t+4};e^{-s,t},dt
=e{4}\int_{2}{\infty}e^{-(s+2)t},dt. X1(s)=integral2^inftye^-2(t-2),e^-s,t,dt =integral2^inftye^-2t+4;e^-s,t,dt =e^4integral2^inftye^-(s+2)t,dt\int_{2}{\infty}e{-(s+2)t},dt
=\left[\frac{e{-(s+2)t}}{-(s+2)}\right]_{2}{\infty}
=\frac{e^{-(s+2),2}}{s+2}. Re(s+2)>0iffRe(s)>-2ãX_1(s)
=e{4},\frac{e{-2s-4}}{s+2}
=\frac{e^{-2s}}{s+2},\quad \Re(s)>-2.$$
2.2) X₂(s):
Reescreve o sinal:
integral2^inftye^-(s+2)t,dt =[e^-(s+2)t-(s+2)]2^infty =e^-(s+2),2s+2
Aqui X1(s) =e^4,e^-2s-4s+2 =e^-2ss+2, Re(s)>-2 para e^-3(-t+3)u(-t+3)=e^3(t-3),u(3-t) e zero depois.
$$X_2(s)=\int_{-\infty}{\infty}e{3(t-3)}u(3-t),e^{-s,t},dt
=\int_{-\infty}{3}e{3t-9},e^{-s,t},dt
=e{-9}\int_{-\infty}{3}e^{(3-s)t},dt. u(3-t)=1\int_{-\infty}{3}e{(3-s)t},dt
=\left[\frac{e{(3-s)t}}{3-s}\right]_{-\infty}{3}
=\frac{e^{(3-s),3}}{3-s}. t<=3X_2(s)
=e{-9},\frac{e{9-3s}}{3-s}
=\frac{e^{-3s}}{3-s},\quad \Re(s)>3.$$

Passo 3

Como estamos convoluindo x1(t)*x2(t), a transformada é
X(s)=X1(s),X2(s) =e^-2ss+2;cdot;e^-3s3-s =e^-5s(s+2)(3-s)
A região de convergência é a interseção de
Re(s)>-2eRe(s)>3,
ou seja
Re(s)>3

Resposta

boxedX(s)=e^-5s(s+2),(3-s), ROC: Re(s)>3

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