Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
e)
e)
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a transformada de Laplace (bilateral) de
e encontrar a região de convergência (ROC). Vamos precisar saber:
- Como derivar um produto (regra da cadeia/produto).
- A propriedade da transformada de Laplace para sinais envolvendo
e . - A definição da transformada bilateral:
.
Passo 2
Primeiro a gente expande a derivada:
Logo
Passo 3
Agora multiplica por
x(t)=e^-tl[-e^-tu(t+1)+e^-tde :
Passo 4
Aplicamos a transformada bilateral termo a termo:
- Para
:integral-infty^infty-e^-2tu(t+1)e^-stdt =-integral-1^inftye^-(s+2)tdt =-e^-(s+2)(-1)s+2 =-e^s+2s+2,
desde que
X(s) =-e^s+2s+2+e^s+2 =e^s+2l(1-1s+2r) =e^s+2,s+1s+2 .
- Para
:
Somando os dois resultados:
Passo 5
A região de convergência vem da condição de convergência da integral
Res+2>0 Longrightarrow Res>-2 , ou seja