Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
e) x(t)=e^-t dd t(e^-t u(t+1))

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a transformada de Laplace (bilateral) de
x(t)=e^-t,ddtl(e^-tu(t+1)r)
e encontrar a região de convergência (ROC). Vamos precisar saber:
  • Como derivar um produto (regra da cadeia/produto).
  • A propriedade da transformada de Laplace para sinais envolvendo e .
  • A definição da transformada bilateral:
    .

Passo 2

Primeiro a gente expande a derivada:
ddtl(e^-tu(t+1)r) =underbraceddt(e^-t)=-e^-t;u(t+1) ;+;e^-t;underbraceddtu(t+1)=de
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ddt(e^-tu(t+1)) =-e^-tu(t+1)+e^-t,de

Passo 3

Agora multiplica por x(t)=e^-tl[-e^-tu(t+1)+e^-tde:

Passo 4

Aplicamos a transformada bilateral termo a termo:
  1. Para integral-infty^infty-e^-2tu(t+1)e^-stdt =-integral-1^inftye^-(s+2)tdt =-e^-(s+2)(-1)s+2 =-e^s+2s+2, :
integral-infty^inftye^-2tde
desde que X(s) =-e^s+2s+2+e^s+2 =e^s+2l(1-1s+2r) =e^s+2,s+1s+2 .
  1. Para :
Somando os dois resultados:

Passo 5

A região de convergência vem da condição de convergência da integral
Res+2>0 Longrightarrow Res>-2 , ou seja

Resposta

boxed X(s) =e^s+2,s+1s+2, ROC: Res>-2

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