Determine (i) a função de transferência e (ii) a resposta ao impulso dos sistemas descritos pelas seguintes equações a diferenças:
d)
d)
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a gente tem um sistema descrito pela equação a diferenças
O que a gente precisa achar é:
1) a função de transferência
2) a resposta ao impulso
Para isso vamos usar:
- Z-transformada de deslocamentos (ex.:
- Álgebra pra isolar
- Decomposição em frações parciais pra inverter o Z;
- Saber que
Passo 2
Aplico Z-transform em tudo (IC zero):
Agora fatoro
e isolo
.
Passo 3
Isolando
:
Se quiser, dá pra fatorar o denominador:
Passo 4
Pra achar a resposta ao impulso a gente decompõe em frações parciais no formato
$$H(z)=\frac{2z^2+z}{(z-\tfrac{8}{5})(z+\tfrac{2}{5})}
= A;\frac{z}{z-\tfrac{8}{5}};+;B;\frac{z}{z+\tfrac{2}{5}}.
A+B=2,\quad \tfrac{2}{5}A-\tfrac{8}{5}B=1$$
Resolvendo dá
Passo 5
Como
, a inversa de cada termo é fácil:
Resposta
(i)
.
(ii) $h[n]=\displaystyle\frac{21}{10}\Bigl(\tfrac{8}{5}\Bigr)^n u[n];-;\frac{1}{10}\Bigl(-\tfrac{2}{5}\Bigr)^n u[n],. $
(ii) $h[n]=\displaystyle\frac{21}{10}\Bigl(\tfrac{8}{5}\Bigr)^n u[n];-;\frac{1}{10}\Bigl(-\tfrac{2}{5}\Bigr)^n u[n],. $