Determine (i) a função de transferência e (ii) a resposta ao impulso dos sistemas descritos pelas seguintes equações a diferenças:
d) y[n+2]-65 y[n+1]-1625 y[n]=2 x[n+2]+x[n+1]

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem um sistema descrito pela equação a diferenças
y[n+2]-tfrac65y[n+1]-tfrac1625y[n]=2,x[n+2]+x[n+1]
O que a gente precisa achar é:
1) a função de transferência H(z)=Y(z)X(z), usando transformada Z;
2) a resposta ao impulso h[n], que é a antitransformada inversa de H(z).
Para isso vamos usar:
- Z-transformada de deslocamentos (ex.: y[n+1]rightarrow zY(z), assumindo condições iniciais zero);
- Álgebra pra isolar Y(z)/X(z);
- Decomposição em frações parciais pra inverter o Z;
- Saber que Za^n u[n]=zz-a.

Passo 2

Aplico Z-transform em tudo (IC zero):
& Zy[n+2]-tfrac65 Zy[n+1]-tfrac1625 Zy[n] =;2, Zx[n+2]+ Zx[n+1] Longrightarrow;&z^2Y(z)-tfrac65zY(z)-tfrac1625Y(z) =2,z^2X(z)+zX(z)
Agora fatoro Y(z) e isolo H(z)=Y(z)/X(z).

Passo 3

Isolando H(z):
l(z^2-tfrac65z-tfrac1625r)Y(z) =l(2z^2+zr)X(z) Longrightarrow H(z)=Y(z)X(z)=2z^2+zz^2-tfrac65z-tfrac1625
Se quiser, dá pra fatorar o denominador:
z^2-tfrac65z-tfrac1625=(z-tfrac85)(z+tfrac25)

Passo 4

Pra achar a resposta ao impulso a gente decompõe em frações parciais no formato
$$H(z)=\frac{2z^2+z}{(z-\tfrac{8}{5})(z+\tfrac{2}{5})}
= A;\frac{z}{z-\tfrac{8}{5}};+;B;\frac{z}{z+\tfrac{2}{5}}. H(z)=2z^2+z(z-tfrac85)(z+tfrac25) = A;zz-tfrac85;+;B;zz+tfrac25A+B=2,\quad \tfrac{2}{5}A-\tfrac{8}{5}B=1$$
Resolvendo dá
A+B=2, tfrac25A-tfrac85B=1

Passo 5

Como Za^n u[n]=zz-a, a inversa de cada termo é fácil:
h[n]=2110l(tfrac85r)^n u[n];-;110l(-tfrac25r)^n u[n]

Resposta

(i) H(z)=2z^2+zz^2-tfrac65z-tfrac1625ou 2z^2+z(z-tfrac85)(z+tfrac25).
(ii) $h[n]=\displaystyle\frac{21}{10}\Bigl(\tfrac{8}{5}\Bigr)^n u[n];-;\frac{1}{10}\Bigl(-\tfrac{2}{5}\Bigr)^n u[n],. $

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