Determine a transformada inversa de Laplace para as funções e regiões dadas a seguir
e) X(s)=s+1s^2+5 s+6,-3

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar a transformada inversa de Laplace de
X(s)=s+1s^2+5s+6, com região de convergência -3ãê
Conteúdo: Transformada de Laplace bilateral, frações parciais e análise de ROC.
O que vamos precisar:
  1. Fatorar o denominador e fazer frações parciais.
  2. Saber que tem ROC e tem ROC .
  3. Combinar essas informações para ajustar ao ROC dado.

Passo 2

Fatorando s^2+5s+6=(s+2)(s+3) :
s+1(s+2)(s+3) =As+2+Bs+3
Agora escrevemos
s+1 = A(s+3) + B(s+2)
Multiplicando pelos dois denominadores:
X(s) = -1s+2 + 2s+3
Para achar e :
  • Se :
  • Se :
Então

Passo 3

Agora a parte crucial: ROC -1s+2 long<=ftrightarrow e^-2t,u(-t) .
  • O termo 2s+3 long<=ftrightarrow 2,e^-3t,u(t) : normalmente vem de com ROC .
    Mas o nosso ROC pede , então esse pedaço é de forma anticausal:
  • O termo : normalmente vem de com ROC .
    Nosso ROC exige (pois a região está acima de ), então esse pedaço é causal:

Passo 4

Juntando os dois pedaços na linha do tempo (bilateral):
x(t)= underbracee^-2t,u(-t)parte anticausal ;+; underbrace2,e^-3t,u(t)parte causal

Resposta

boxedx(t)=e^-2t,u(-t);+;2,e^-3t,u(t)

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