Determine a resposta do sistema linear invariante no tempo em regime permanente cuja resposta ao impulso é dada por
h(t)=100 t e^-t cos (2 t) u(t)
para a entrada x(t)=sen(2 t) u(t).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. A gente tem um sistema LTI (linear e invariável no tempo) cuja resposta ao impulso é
h(t)=100,t,e^-tcos(2t),u(t)
e a entrada
x(t)=sin(2t),u(t)
O objetivo é achar a saída em regime permanente (ou seja, só a parte forçada que sobra depois que os transientes morreram).
Conteúdo que vamos usar:
  1. Transformada de Laplace pra achar a função de transferência yss(t)=|H(jomega0)|;sinl(omega0 t+arg H(jomega0)r) .
  2. Resposta em frequência pra entrada senoidal.
  3. Fórmula da resposta forçada em regime permanente:

Passo 2

Primeiro, lembra que
H(s)=Lh(t)
e que, se Lt,f(t)=-ddsF(s), F(s)=Lf(t) , a gente pode usar a propriedade
F(s)=Le^-tcos(2t) =s+1(s+1)^2+2^2
Aqui , então vamos achar primeiro
Depois aplicamos e multiplicamos por 100.

Passo 3

Calculemos
H(s) =100; Lt,e^-tcos(2t) =-100,dds!l[s+1(s+1)^2+4r]
Derivando:
dds!l[s+1(s+1)^2+4r] =(1)((s+1)^2+4)-(s+1)(2(s+1))l((s+1)^2+4r)^2 =4-(s+1)^2l((s+1)^2+4r)^2
Então
H(s) =100;(s+1)^2-4l((s+1)^2+4r)^2

Passo 4

Agora a entrada tem frequência H(j2) =100,-7+4j-15+8j =13700-400j289 approx 47.42 - j,1.38 , então avaliamos em :
  1. .
  2. .
  3. , e .
    Logo

Passo 5

Finalmente, a amplitude e a fase de |H(j2)|=raiz47.42^2+1.38^2approx47.42, arg H(j2)=-arctan!l(1.3847.42r)approx-0.0292 rad são
yss(t) =|H(j2)|,sinl(2t+arg H(j2)r) =47.42;sinl(2t-0.0292r),u(t)
Então, em regime permanente,

Resposta

boxedyss(t)=47.42;sinl(2t-0.0292r),u(t)

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