Determine a transformada inversa de Laplace de:
s(s+1)^2+5

Passo 1

Nesse exercício queremos encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s)=s(s+1)^2+5. O conteúdo envolve uso de tabelas de transformada inversa, em particular as formas L^-1tfracs+a(s+a)^2+b^2=e^-atcos(bt) e L^-1tfracb(s+a)^2+b^2=e^-atsin(bt). Vamos precisar também da propriedade de decomposição de frações parciais simples.

Passo 2

Perceba que podemos reescrever o numerador s como (s+1)-1. Assim fazemos a separação:
s(s+1)^2+5 = (s+1)-1(s+1)^2+5 = s+1(s+1)^2+5 - 1(s+1)^2+5

Passo 3

Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas. Sabendo que L^-1tfracs+1(s+1)^2+(raiz5)^2=e^-tcos(raiz5,t), a primeira parcela gera e^-tcos(raiz5,t).
Para a segunda parcela, usamos L^-1tfracb(s+a)^2+b^2=e^-atsin(bt). Aqui b=raiz5, logo
L^-1l1(s+1)^2+5r = L^-1lraiz5(s+1)^2+5rcdot1raiz5 = 1raiz5,e^-tsin(raiz5,t)

Passo 4

Subtraindo conforme nossa decomposição, obtemos:
f(t) = e^-tcos(raiz5,t) - 1raiz5,e^-tsin(raiz5,t)

Resposta

f(t)=e^-tl[cos(raiz5,t)-tfrac1raiz5sin(raiz5,t)

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