Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=\frac{1}{s^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função \displaystyle F(s)=\frac{1}{s^{4}}.
Informações dadas: \displaystyle F(s)=\frac{1}{s^{4}}.
Pergunta: encontrar a função f(t) tal que \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s) (isto é, \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t)).

Passo 2

Vou lembrar uma definição importante (só a ideia, sem pular etapas): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
onde a integração é sobre t\ge 0. A transformada inversa procura f(t) que satisfaça essa igualdade. Aqui queremos a função f(t) que gera \dfrac{1}{s^{4}}.

Passo 3

Existem tabelas com pares clássicos; um par muito útil é o de potências de t:
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},\quad n\\ \text{inteiro não negativo}.ã
Vou explicar e demonstrar essa fórmula de forma prática (para que você consiga reproduzir na prova). A demonstração usa uma substituição na integral da definição.

Passo 4

Calculemos diretamente a transformada de Laplace de t^{n} por substituição. Começamos por
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t^{n}\,dt.
Faço a troca de variável u=st. Então t=\dfrac{u}{s} e dt=\dfrac{du}{s}. Os limites t=0\to u=0 e t\to\infty\to u\to\infty. Substituindo:
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-u}\left(\frac{u}{s}\right)^{n}\frac{du}{s} =\frac{1}{s^{n+1}}\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,u^{n}\,du.
A integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{n}\,du é a função Gamma avaliada em n+1, ou seja \Gamma(n+1). Para inteiros n vale \Gamma(n+1)=n!. Portanto obtemos
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.

Passo 5

Agora aplique isso ao caso prático: queremos relacionar \dfrac{1}{s^{4}} com a forma \dfrac{n!}{s^{n+1}}. Tomando n=3 na fórmula acima temos
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}}.
Portanto \dfrac{6}{s^{4}} é a transformada de Laplace de t^{3}. Para obter \dfrac{1}{s^{4}} basta ajustar o fator 6: a transformada inversa de \dfrac{1}{s^{4}} é a função de t que, ao aplicar a transformada de Laplace, resulta em \dfrac{1}{s^{4}}. Isso se obtém multiplicando t^{3} por \dfrac{1}{6}.

Passo 6

Um pequeno cheque rápido (para você confiar no resultado): usando linearidade da transformada,
\mathcal{L}\left\{\frac{1}{6}t^{3}\right\}(s)=\frac{1}{6}\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{s^{4}}=\frac{1}{s^{4}},
ou seja, a função \dfrac{1}{6}t^{3} realmente tem transformada \dfrac{1}{s^{4}}. Lembre-se de que estamos assumindo a convenção causal (função nula para t<0), então é comum escrever também o fator unit step u(t).

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{t^{3}}{6}\,u(t)

Exercícios relacionados