Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
.
Informações dadas: .
Pergunta: encontrar a função tal que
(isto é,
).
Informações dadas:
Pergunta: encontrar a função
Passo 2
Vou lembrar uma definição importante (só a ideia, sem pular etapas): a transformada de Laplace de uma função
é
onde a integração é sobre
. A transformada inversa procura
que satisfaça essa igualdade. Aqui queremos a função
que gera
.
Passo 3
Existem tabelas com pares clássicos; um par muito útil é o de potências de
:
Vou explicar e demonstrar essa fórmula de forma prática (para que você consiga reproduzir na prova). A demonstração usa uma substituição na integral da definição.
Passo 4
Calculemos diretamente a transformada de Laplace de
por substituição. Começamos por
Faço a troca de variável
. Então
e
. Os limites
e
. Substituindo:
A integral
é a função Gamma avaliada em
, ou seja
. Para inteiros
vale
. Portanto obtemos
Passo 5
Agora aplique isso ao caso prático: queremos relacionar
com a forma
. Tomando
na fórmula acima temos
Portanto
é a transformada de Laplace de
. Para obter
basta ajustar o fator
: a transformada inversa de
é a função de
que, ao aplicar a transformada de Laplace, resulta em
. Isso se obtém multiplicando
por
.
Passo 6
Um pequeno cheque rápido (para você confiar no resultado): usando linearidade da transformada,
ou seja, a função
realmente tem transformada
. Lembre-se de que estamos assumindo a convenção causal (função nula para
), então é comum escrever também o fator unit step
.