Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=\frac{6 s^{2}+4 s+2}{s^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função no domínio de s
F(s)=\frac{6 s^{2}+4 s+2}{s^{3}}
e pede para determinar a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} válida para t\ge 0.

Passo 2

Vou lembrar as ferramentas essenciais que precisamos — de forma bem direta e sem mistério.
A transformada de Laplace de uma função f(t) é uma função de s. Aqui nos interessa a operação inversa, que é linear: se F(s)=aG(s)+bH(s) então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.
Também usamos a fórmula padrão para potências de t:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad n=0,1,2,\dots
Isto implica inversamente:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2}.
Vou usar essas fórmulas básicas e a linearidade para resolver o exercício. Se alguma das identidades acima parecer nova, pense assim: a transformada de t^{2} 2/s^{3}, então a inversa de 1/s^{3} é t^{2}/2.

Passo 3

Primeiro simplificamos F(s) escrevendo cada termo dividido por s^{3}:
F(s)=\frac{6 s^{2}}{s^{3}}+\frac{4 s}{s^{3}}+\frac{2}{s^{3}}.
Agora simplificamos cada fração:
\frac{6 s^{2}}{s^{3}}=\frac{6}{s},\qquad \frac{4 s}{s^{3}}=\frac{4}{s^{2}},\qquad \frac{2}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Portanto
F(s)=\frac{6}{s}+\frac{4}{s^{2}}+\frac{2}{s^{3}}.

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando a linearidade e as fórmulas do Passo 2.
  • Para \dfrac{6}{s}: como \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, temos \mathcal{L}^{-1}\{6/s\}=6.
  • Para \dfrac{4}{s^{2}}: como \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{2}\}=t, temos \mathcal{L}^{-1}\{4/s^{2}\}=4t.
  • Para \dfrac{2}{s^{3}}: podemos usar que \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{3}\}=t^{2}/2; assim \mathcal{L}^{-1}\{2/s^{3}\}=2\cdot\frac{t^{2}}{2}=t^{2}.
Somando os três resultados, obtemos
f(t)=6+4t+t^{2},\qquad t\ge 0.

Passo 5

Verificação rápida (por jogo de cintura): calcule a transformada direta de f(t)=6+4t+t^{2}:
\mathcal{L}\{6\}=\frac{6}{s},\quad \mathcal{L}\{4t\}=\frac{4}{s^{2}},\quad \mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2}{s^{3}},
que somadas dão exatamente F(s) do enunciado. Tudo coerente — missão cumprida!

Resposta

f(t)=6+4t+t^{2}

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