Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função no domínio de
e pede para determinar a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar
válida para
.
Passo 2
Vou lembrar as ferramentas essenciais que precisamos — de forma bem direta e sem mistério.
A transformada de Laplace de uma função
é uma função de
. Aqui nos interessa a operação inversa, que é linear: se
então
Também usamos a fórmula padrão para potências de
:
Isto implica inversamente:
Vou usar essas fórmulas básicas e a linearidade para resolver o exercício. Se alguma das identidades acima parecer nova, pense assim: a transformada de
dá
, então a inversa de
é
.
Passo 3
Primeiro simplificamos
escrevendo cada termo dividido por
:
Agora simplificamos cada fração:
Portanto
Passo 4
Aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando a linearidade e as fórmulas do Passo 2.
- Para
: como , temos . - Para
: como , temos . - Para
: podemos usar que ; assim
Somando os três resultados, obtemos
Passo 5
Verificação rápida (por jogo de cintura): calcule a transformada direta de
:
que somadas dão exatamente
do enunciado. Tudo coerente — missão cumprida!