Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=\frac{5 s+3}{s^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{5s+3}{s^{2}}.
Informações relevantes dadas: a expressão de F(s) como uma razão de polinômios em s. A pergunta é: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, a função no domínio do tempo (normalmente para t\ge 0) cujo transformada de Laplace é F(s).

Passo 2

Conceito útil (linha-guia para a resolução): a transformada inversa é linear. Isso significa que, para constantes a,b e funções G(s),H(s),
\mathcal{L}^{-1}\{a\,G(s)+b\,H(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.
Na hora da prova, sempre que você conseguir escrever F(s) como soma de termos simples cujo inverso você conhece, aplique a linearidade e inverta termo a termo.

Passo 3

Vamos simplificar F(s) algebricamente, separando os termos:
\frac{5s+3}{s^{2}}=\frac{5s}{s^{2}}+\frac{3}{s^{2}}= \frac{5}{s}+\frac{3}{s^{2}}.
Isso já nos deixa em forma conveniente: soma de múltiplos de \frac{1}{s} e \frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Agora precisamos conhecer (ou relembrar) as transformadas diretas básicas e suas inversas:
  • Sabemos que, pela definição da transformada de Laplace, \mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 1\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}\quad(\text{para } \Re(s)>0).Portanto, \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1.
  • Para t temos (usar integração por partes é um jeito padrão):
    calcular \mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt. Fazendo integração por partes com u=t, dv=e^{-st}dt \int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt = \left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}dt = 0 + \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.Logo \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t.
Esses dois resultados são fórmulas que você deve decorar para a prova: \mathcal{L}\{1\}=1/s e \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2}.

Passo 5

Aplicando a linearidade do Passo 2 e as inversas conhecidas do Passo 4 ao resultado do Passo 3:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5}{s}+\frac{3}{s^{2}}\right\}=5\cdot\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}+3\cdot\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=5\cdot 1 + 3\cdot t.
Portanto a função no domínio do tempo é f(t)=5+3t (para t\ge 0).

Passo 6

Checagem rápida (sempre boa na prova): calcular \mathcal{L}\{5+3t\}=5\mathcal{L}\{1\}+3\mathcal{L}\{t\}=5\cdot\frac{1}{s}+3\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{5s+3}{s^{2}}=F(s). Confere.

Resposta

f(t)=5+3t,\\ t\ge 0

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