Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{4 S^{2}+1}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a transformada inversa de Laplace da função \displaystyle \frac{1}{4 S^{2}+1}.\n
Informações dadas: a função no domínio de S é \displaystyle F(S)=\frac{1}{4 S^{2}+1}.\n
Pergunta clara: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(S)\}, ou seja, a função de tempo cujo espectro de Laplace é F(S).

Passo 2

Recordando as fórmulas padrão (aulas rápidas e sem drama):\n
A transformada de Laplace da função seno é
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{S^{2}+a^{2}},
onde S é a variável complexa do domínio (frequência complexa) e t\ge0 é a variável do tempo. Aqui a>0 é uma constante real (a frequência do seno).\n
Essa fórmula significa: se você conhece \frac{a}{S^{2}+a^{2}} no domínio S, então a função no tempo associada é \sin(at). Vou usar essa correspondência para reconhecer nossa F(S).

Passo 3

A ideia é colocar \displaystyle \frac{1}{4 S^{2}+1} numa forma parecida com \displaystyle \frac{a}{S^{2}+a^{2}}.\n
Primeiro fatoramos 4 no denominador:
\frac{1}{4 S^{2}+1}=\frac{1}{4\left(S^{2}+\tfrac{1}{4}\right)}.
Então podemos escrever
\frac{1}{4 S^{2}+1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{S^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}.

Passo 4

Agora usamos a identidade útil
\frac{1}{S^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{S^{2}+a^{2}}.
No nosso caso a=\tfrac{1}{2}. Aplicando a identidade:
\frac{1}{S^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{S^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=2\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{S^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}.
Voltando ao F(S):
\frac{1}{4 S^{2}+1}=\frac{1}{4}\cdot 2\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{S^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}.
Calculando o fator numérico \tfrac{1}{4}\cdot 2=\tfrac{1}{2}, obtemos
\frac{1}{4 S^{2}+1}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{S^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}.

Passo 5

A parte \displaystyle \frac{\tfrac{1}{2}}{S^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}} tem exatamente a forma \displaystyle \frac{a}{S^{2}+a^{2}} com a=\tfrac{1}{2}, cuja transformada inversa é \sin\!\big(a t\big)=\sin\!\big(\tfrac{1}{2}t\big), conforme a fórmula da Passo 2.\n
Como havia o fator multiplicativo \tfrac{1}{2} fora desse núcleo, a transformada inversa de F(S) é esse fator multiplicando \sin\!\big(\tfrac{1}{2}t\big). (A conta final será colocada na seção de resposta.)

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)

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