Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a transformada inversa de Laplace da função
.\n
Informações dadas: a função no domínio de é
.\n
Pergunta clara: encontrar , ou seja, a função de tempo cujo espectro de Laplace é
.
Informações dadas: a função no domínio de
Pergunta clara: encontrar
Passo 2
Recordando as fórmulas padrão (aulas rápidas e sem drama):\n
A transformada de Laplace da função seno é
A transformada de Laplace da função seno é
onde
é a variável complexa do domínio (frequência complexa) e
é a variável do tempo. Aqui
é uma constante real (a frequência do seno).\n
Essa fórmula significa: se você conhece no domínio
, então a função no tempo associada é
. Vou usar essa correspondência para reconhecer nossa
.
Essa fórmula significa: se você conhece
Passo 3
A ideia é colocar
numa forma parecida com
.\n
Primeiro fatoramos no denominador:
Primeiro fatoramos
Então podemos escrever
Passo 4
Agora usamos a identidade útil
No nosso caso
. Aplicando a identidade:
Voltando ao
:
Calculando o fator numérico
, obtemos
Passo 5
A parte
tem exatamente a forma
com
, cuja transformada inversa é
, conforme a fórmula da Passo 2.\n
Como havia o fator multiplicativo fora desse núcleo, a transformada inversa de
é esse fator multiplicando
. (A conta final será colocada na seção de resposta.)
Como havia o fator multiplicativo